Cho 3 số \(x,y,z\ge0\)thỏa mãn: \(x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=3\). Tìm GTLN của: \(M=x^2+y^2+z^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2017
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(x^{2016}+\underbrace{1+1+...+1}_{1007}\geq 1008\sqrt[1008]{x^{2016}}=1008x^2\)
Thực hiện tương tự với \(y,z\) và cộng theo vế, thu được:
\(x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}+3021\geq 1008P\Leftrightarrow 1008P\leq 3024\)
\(\Rightarrow P\leq 3\) tức \(P_{\max}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2021
Đặt \(P=xyz\le\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2z=\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\left(2016-x-y\right)\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\y\ge9\\z\ge1951\\x+y=2016-z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow11\le x+y\le65\)
Đặt \(x+y=a\Rightarrow11\le a\le65\)
\(4P\le a^2\left(2016-a\right)=-a^3+2016a^2-8242975+8242975\)
\(4P\le\left(65-a\right)\left[\left(a^2-65^2\right)-1951\left(a-11\right)-144051\right]+8242975\le8242975\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{8242975}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{65}{2}\\z=1951\end{matrix}\right.\)
NT
4
2 tháng 1 2017
y=x+z-a (a=2016)
y^3=(x+z)^3-a^3-3(x+z).a(x+z-a)
-y^3=-[x^3+z^3+3xz(x+z)-a^3-3(x+z).a(x+z-a)]
-3(x+z)[xz-ay]+2016^3=2017^2
2017 không chia hết cho 3 vô nghiệm nguyên
Bạn test lại xem hay biến đổi nhầm nhỉ
2 tháng 1 2017
Bị lừa rồi.
thực ra rất đơn giản
\(x-y+z=2016\)(1)
\(x^3-y^3+z^3=2017^2\)(2)
(1) số số hạng lẻ phải chắn=> tất cả chẵn (*) hoạc 1 số chẵn(**)
(2) số số hạng lẻ phải lẻ=> vô nghiệm nguyên
DM
1
5 tháng 1 2018
Đặt x/2015=y/2016=z/2017=k
=> x=2015k
=> y=2016k
=> z=2017k
Ta có
•(x-z)3=(2015k-2017k)3=(-2k)3=-8k3 (1)
•8(x-y)2(y-z)=8(2015k-2016k)2(2016k-2017k)= 8(-k)2(-k)=-8k3 (2)
Từ (1) và (2) => (x-z)3=8(x-y)2(y-z)
22 tháng 3 2017
Ta có:
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2.\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+y^2.\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+z^2.\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)
Vì a, b, c khác 0 nên dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=0\)
\(\Rightarrow M=x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=0^{2016}+0^{2016}+0^{2016}=0\)
27 tháng 11 2017
Từ :\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^4+y^4+z^4=3xyz\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\left(x+y+z\right)xyz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\)
Áp dụng AM - GM ta có :
\(x^2yz=x.x.y.z\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)
\(xy^2z=x.y.y.z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)
\(xyz^2=x.y.z.z\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)
\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)
Mà đề lại cho \(x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Kết hợp với x + y + z = 3 \(\Rightarrow x=y=z=1\)
Thay vào M ta được : \(M=2000.1^{2016}+1^{2016}+1^{2016}=2002\)
13 tháng 2 2020
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = /x+1/ + /x-2017/ với x là số nguyên