A=1-\(\dfrac{1}{2^2}\)-\(\dfrac{1}{3^2}\)-...-\(\dfrac{1}{2022^2}\) Chứng minh A>\(\dfrac{1}{2022}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 7 2023
4A=1-1/2^2+1/2^4-...+1/2^2018-1/2^2020
=>5A=1-1/2^2022
=>A=1/5-1/5*2^2022<1/5=0,2
OY
17 tháng 3 2022
Ta có: \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{2022^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{2021.2022}\)
\(\Rightarrow A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2022}\)
\(\Rightarrow A< 1-\dfrac{1}{2022}< 1\left(đpcm\right)\)
HN
6 tháng 2 2023
\(T=\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{2}{2^2}+...+\dfrac{2021}{2^{2021}}+\dfrac{2022}{2^{2022}}\)
\(\Leftrightarrow2T=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}...+\dfrac{2020}{2^{2019}}+\dfrac{2021}{2^{2020}}+\dfrac{2022}{2^{2021}}\)
\(\Leftrightarrow2T-T=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}...+\dfrac{2020}{2^{2019}}+\dfrac{2021}{2^{2020}}+\dfrac{2022}{2^{2021}}\right)-\left(\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{2}{2^2}+...+\dfrac{2021}{2^{2021}}+\dfrac{2022}{2^{2022}}\right)\)
\(\Leftrightarrow T=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}...+\dfrac{2020}{2^{2019}}+\dfrac{2021}{2^{2020}}+\dfrac{2022}{2^{2021}}-\dfrac{1}{2^1}-\dfrac{2}{2^2}-...-\dfrac{2021}{2^{2021}}-\dfrac{2022}{2^{2022}}\)
\(\Leftrightarrow T=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{2021}}-\dfrac{2022}{2^{2022}}\)
Đặt \(M=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{2021}}\)
\(\Leftrightarrow2M=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{2020}}\)
\(\Leftrightarrow2M-M=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{2020}}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{2021}}\right)\)
\(\Leftrightarrow M=1-\dfrac{1}{2^{2021}}\)
Khi đó: \(T=1+M-\dfrac{2022}{2^{2022}}\)
\(\Leftrightarrow T=1+1-\dfrac{1}{2^{2021}}-\dfrac{2022}{2^{2022}}\)
\(\Leftrightarrow T=2-\left(\dfrac{1}{2^{2021}}+\dfrac{2022}{2^{2022}}\right)\)
\(Do\left(\dfrac{1}{2^{2021}}+\dfrac{2022}{2^{2022}}\right)>0\) \(nên\) \(suy\) \(ra\) \(T=2-\left(\dfrac{1}{2^{2021}}+\dfrac{2022}{2^{2022}}\right)< 2\)
Vậy \(T< 2\) (\(ĐPCM\))
BD
16 tháng 7 2023
a) Ta có:
2A=2.(12+122+123+...+122020+122021)2�=2.12+122+123+...+122 020+122 021
2A=1+12+122+123+...+122019+1220202�=1+12+122+123+...+122 019+122 020
Suy ra: 2A−A=(1+12+122+123+...+122019+122020)2�−�=1+12+122+123+...+122 019+122 020
−(12+122+123+...+122020+122021)−12+122+123+...+122 020+122 021
Do đó A=1−122021<1�=1−122021<1.
Lại có B=13+14+15+1360=20+15+12+1360=6060=1�=13+14+15+1360=20+15+12+1360=6060=1.
Vậy A < B.
KV
30 tháng 10 2023
S = 1/3 + 1/3² + 1/3³ + ... + 1/3²⁰²¹ + 1/3²⁰²²
⇒ S/3 = 1/3² + 1/3³ + 1/3⁴ + ... + 1/3²⁰²² + 1/3²⁰²³
⇒ 2S/3 = S - S/3
= (1/3 + 1/3² + 1/3³ + ... + 1/3²⁰²¹ + 1/3²⁰²²) - (1/3² +1/3³ + 1/3⁴ + ... + 1/3²⁰²² + 1/3²⁰²³)
= 1/3 - 1/3²⁰²³
⇒ S = (1/3 - 1/3²⁰²³) : 2/3
= (1 - 1/3²⁰²²) : 2
Lại có: 1 - 1/3²⁰²² < 1
⇒ S < 1/2
11 tháng 5 2023
Ta có thể viết lại M dưới dạng:
M = (1/2³) + (2/3³ - 1/2³) + (3/4³ - 2/3³) + … + (2022/2023³ - 2021/2022³)
= (1/2³) + [(2/3³ - 1/2³) + (3/4³ - 2/3³)] + … + [(2022/2023³ - 2021/2022³) + (2023/2024³ - 2022/2023³)]
= (1/2³) + (1/3³ - 1/2³) + … + (1/2023³ - 1/2022³)
= 1/2³ + (1/2³ - 1/3³) + (1/3³ - 1/4³) + … + (1/2022³ - 1/2023³)
Ta sử dụng kết quả sau đây: Với mọi số nguyên dương n, ta có
1/n³ > 1/(n+1)³
Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm hoặc khai triển. Do đó,
1/2³ > 1/3³
1/3³ > 1/4³
…
1/2022³ > 1/2023³
Vậy ta có
M = 1/2³ + (1/2³ - 1/3³) + (1/3³ - 1/4³) + … + (1/2022³ - 1/2023³) < 1/2³ + 1/3³ + 1/4³ + … + 1/2023³
Để chứng minh rằng M không phải là một số tự nhiên, ta sẽ chứng minh rằng tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 không phải là một số tự nhiên. Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp giả sử ngược lại và dẫn đến mâu thuẫn.
Giả sử tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 là một số tự nhiên, ký hiệu là S. Ta có:
S = 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ + … + 1/2023³
Với mọi số nguyên dương n, ta có:
1/n³ < 1/n(n-1)
Do đó,
1/1³ < 1/(1x2)
1/2³ < 1/(2x3)
1/3³ < 1/(3x4)
...
1/2023³ < 1/(2023x2024)
Tổng các số hạng bên phải có thể được viết lại dưới dạng:
1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + … + 1/(2023x2024) = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/2023 - 1/2024) = 1 - 1/2024 < 1
Vậy tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 cũng nhỏ hơn 1. Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng tổng này là một số tự nhiên. Do đó, giá trị của M không phải là một số tự nhiên.
A=1-(1/2^2+1/3^2+...+1/2022^2)
1/2^2+1/3^2+...+1/2022^2<1/1*2+1/2*3+...+1/2021*2022=1-1/2022=2021/2022
=>-(1/2^2+...+1/2022^2)>-2021/2022
=>A>1/2022