A=1/2x9 + 1/4x15 + 1/6x21 + ... +1/98x297
Chứng minh rằng 1/15 <A< 2/15
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PH
0
TC
15 tháng 4 2022
a)\(=\dfrac{16}{13}-\dfrac{3}{15}+\dfrac{6}{13}=\dfrac{22}{13}-\dfrac{3}{15}=\dfrac{96}{65}\)
b)\(=\dfrac{21}{8}-\left(\dfrac{5}{10}+\dfrac{6}{10}\right)=\dfrac{21}{8}-\dfrac{11}{10}=\dfrac{61}{40}\)
c)\(=\dfrac{27}{10}-3-\dfrac{4}{7}--\dfrac{61}{70}\)
P
1
G
5
6 tháng 6 2019
\(A=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+....+\frac{1}{120}\)
Ta có :
\(\frac{1}{10}< 1\)
\(\frac{1}{15}< 1\)
\(\frac{1}{21}< 1\)
........................
\(\frac{1}{120}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+...+\frac{1}{120}< 1\)
\(\Rightarrow A< 1\)( đpcm)
XO
6 tháng 6 2019
Ta có : A = \(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+...+\frac{1}{120}\)
= \(\frac{1}{20}\times2+\frac{1}{30}\times2+...+\frac{1}{240}\times2\)
= \(2\times\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{240}\right)\)
= \(2\times\left(\frac{1}{4\times5}+\frac{1}{5\times6}+...+\frac{1}{15\times16}\right)\)
= \(2\times\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{15}-\frac{1}{16}\right)\)
= \(2\times\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)\)
= \(2\times\frac{3}{16}\)
= \(\frac{3}{8}\)< 1
=> A < 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 3 2023
a.
Bình phương 2 vế, BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge6\)
Ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(1+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b.
\(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}=\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+2a+2}\le\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\le1\Leftrightarrow\sum\dfrac{4a+4}{4a+2}\le4\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{2a+1}\ge1\)
Đúng đo: \(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)+3}=1\)
DA
1
18 tháng 3 2019
Ta có: \(\frac{a}{b}\)luôn bé hơn \(\frac{a+n}{b+n}\)nếu a < b (a ; b ; thuộc Z ; n thuộc N*)
Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số trên, ta có:
\(A< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.\left(...\right).\frac{100}{101}\)
=>\(A^2< \frac{1.2.3.\left(...\right).100}{2.3.4.\left(...\right).101}=\frac{1}{101}\)(nhân cả 2 vế cho A)
Quy tắc:\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}\)
=>\(A^2< \frac{1}{101}< \frac{1}{100}=\frac{1^2}{10^2}=\left(\frac{1}{10}\right)^2\)
=>\(A< \frac{1}{10}\) (1)
Giữ nguyên \(\frac{1}{2}\), bớt đi ở tử và mẫu của các phân số còn lại, ta có:
\(A>\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\left(...\right).\frac{98}{99}\)
=>\(A^2>\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\left(...\right)\frac{99}{100}\)(nhân cả 2 vế cho A)
=>\(A^2>\frac{1}{2}.\frac{1.2.3.\left(...\right).99}{2.3.4.\left(...\right).100}=\frac{1}{2}.\frac{1}{100}=\frac{1}{200}\)
Mà\(\left(\frac{1}{15}\right)^2=\frac{1}{225}< \frac{1}{200}< A^2\)
=>\(\frac{1}{15}< A\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{15}< A< \frac{1}{10}\)(đpcm)
P
0
NM
1
6 tháng 2 2018
Để chứng minh A<1/10 thì ta chứng minh A<2/3.4/5.6/7....100/101
Để chứng minh A>1/15 thì ta chứng minh A>1/2.2/3.4/5.98/99