cho 3 số a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 và a^3+b^3+c^3=1 Chứng minh rằng a^2005+b^2005+c^2005 =1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VA
0
VA
0
NK
1
29 tháng 9 2016
Do a3+b3+c3=1;a+b+c=1→a3+b3+c3=a+b+c→3(a+b)(b+c)(c+a)=0→a=−b hoặc b=−c hoặc c=−aa3+b3+c3=1;a+b+c=1→a3+b3+c3=a+b+c→3(a+b)(b+c)(c+a)=0→a=−b hoặc b=−c hoặc c=−a
Nếu a=−ba=−b thì a2005+b2005+c2005=a2005−a2005+c2005=c2005=1 vì a-a+c=1a2005+b2005+c2005=a2005−a2005+c2005=c2005=1 vì a-a+c=1
Tương tự ta cũng được a2005+b2005+c2005=1a2005+b2005+c2005=1
Vậy với a+b+c=1;a3+b3+c3=1a+b+c=1;a3+b3+c3=1 thì a2005+b2005+c2005=1
do máy mình bị lỗi bàn phím nên giả sử a3 thì là a mũ 3 nha
cảm ơn
NA
0
NT
1
9 tháng 3 2018
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Rightarrow-1\le a,b,c\le1\)
Lấy 2 cái trên trừ nhau ta được
\(\left(a^2-a\right)+\left(b^2-b\right)+\left(c^2-c\right)=0\)
Ta có \(\left(a^2-a\right),\left(b^2-b\right),\left(c^2-c\right)\)cùng dấu nên dấu = xảy ra khi
\(\left(a,b,c\right)=\left(0,0,1;0,1,0;1,0,0\right)\)
\(\Rightarrow\)ĐPCM
KT
1
13 tháng 9 2018
\(a^3\) + \(b^3\) + \(c^3\) = \(\left(a+b+c\right)^3\) + 3 ( a + b ) (b + c )( c + a)
-> 1 = 1 + 3 ( a + b) ( b + c ) ( c + a )
-> ( a + b ) ( b + c ) ( c + a) = 0
-> ( 1- a ) ( 1 - b) ( 1 -c ) = 0
Tôn tại ít nhất một số 1
Mà a + b + c = 0 -> có hai số đối nhau
-> a2005+b2005 +c2005 =1 = 1 ( 2005 là số lẻ )
Tk mk nha
BN
1
30 tháng 10 2016
a+b+c=1
=>a^1+b^1+c^1=1
mà a^3 + b^3 +c^3=1
=> a^2005 + b^2005 + c^2005=1
10 tháng 12 2019
Với \(a,b,c\ne0\); \(a+b+c\ne0\) , ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+abc+bc^2+c^2a=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+bc^2+c^2a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, ta lấy \(a=-b\), ta có:
\(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}\)
\(=\frac{-1}{b^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\) (1)
Ta có:\(\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)
\(=\frac{1}{-b^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)
10 tháng 12 2019
Cái chỗ không mất tính tổng quát đấy, là do a, b, c bình đẳng nhau.
MN
2
KB
30 tháng 9 2018
Ta có : \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=1\)
\(\Leftrightarrow1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\a+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Với \(a=-b\) , \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow c=1\)
\(\Rightarrow a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}=\left(-b\right)^{2005}+b^{2005}+c^{2005}=c^{2005}=1^{2005}=1\left(1\right)\)
Với \(b=-c\) , \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow a=1\) CMTT , ta được :
\(a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}=1\left(2\right)\)
Với \(c=-a\) , \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow b=1\) CMTT , ta được :
\(a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}=1\left(3\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 )
\(\Rightarrow a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}=1\left(đpcm\right)\)
P/s : Làm linh tinh , ko chắc :D
Do a3+b3+c3=1;a+b+c=1→a3+b3+c3=a+b+c→3(a+b)(b+c)(c+a)=0→a=−b hoặc b=−c hoặc c=−aa3+b3+c3=1;a+b+c=1→a3+b3+c3=a+b+c→3(a+b)(b+c)(c+a)=0→a=−b hoặc b=−c hoặc c=−a
Nếu a=−ba=−b thì a2005+b2005+c2005=a2005−a2005+c2005=c2005=1 vì a-a+c=1a2005+b2005+c2005=a2005−a2005+c2005=c2005=1 vì a-a+c=1
Tương tự ta cũng được a2005+b2005+c2005=1a2005+b2005+c2005=1
Vậy với a+b+c=1;a3+b3+c3=1a+b+c=1;a3+b3+c3=1 thì a2005+b2005+c2005=1
do máy mình bị lỗi bàn phím nên giả sử a3 thì là a mũ 3 nha
cảm ơn