Cho P=(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2
Q=(x+y)(y+z)(x+z)
Chứng minh: Nếu P=Q thì x=y=z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
26 tháng 4 2019
P/s: Em mới lớp 7 thôi nên có gì sai mong anh/chị thông cảm ạ.
Khai triển ra ta được: \(Q=x^2+y^2+z^2+3\left(xy+xz+yz\right)\)
\(P=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)
Do P = Q nên P - Q = 0.Hay:\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
Nhân 2 vào hai vế suy ra \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}}\) .Suy ra \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
Dấu "=' xảy ra khi x = y = z (đpcm)
26 tháng 7 2018
chứng minh ngược lại bạn ơi
chứng minh x=y=z thì p=q
NT
1
19 tháng 9 2020
Đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)thì P=Q có nghĩa là:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x+y=y+z=z+x\Leftrightarrow x=y=z\)
HN
13 tháng 4 2017
Ta có:
\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=0\)
HN
13 tháng 4 2017
<span class="mfrac" id="MathJax-Span-48"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 2.445em; height: 0px; margin-right: 0.146em; margin-left: 0.146em;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.068em 1000.96em 4.361em -999.998em); top: -4.691em; left: 50%; margin-left: -0.477em;"><span class="msubsup" id="MathJax-Span-49"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 0.96em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.451em 1000.48em 4.361em -999.998em); top: -4.021em; left: 0em;"><span class="mi" id="MathJax-Span-50" style="font-family: MathJax_Math-italic;">y<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.002em;"></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 4.025em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.404em; left: 0.529em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-51" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 4.025em;"></span></span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 4.025em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(3.307em 1002.25em 4.265em -999.998em); top: -3.35em; left: 50%; margin-left: -1.147em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-52"><span class="mi" id="MathJax-Span-53" style="font-family: MathJax_Math-italic;">z<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.002em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-54" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.242em;">+</span><span class="mi" id="MathJax-Span-55" style="font-family: MathJax_Math-italic; padding-left: 0.242em;">x</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 4.025em;"></span></span><span style="position: absolute; clip: rect(0.864em 1002.45em 1.2em -999.998em); top: -1.291em; left: 0em;"><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: 0em; border-top: 1.3px solid; width: 2.445em; height: 0px;"></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 1.056em;"></span></span></span></span>
HN
13 tháng 4 2017
Câu hỏi của Vũ Anh Quân - Toán lớp 8 | Học trực tuyến nè nhé b .
DC
2 tháng 6 2017
Bài này mình làm 2 cách cho bạn dễ hiểu nha
C1:\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1\Leftrightarrow x\left(z+x\right)\left(x+y\right)+y\left(y+z\right)\left(x+y\right)+z\left(z+x\right)\left(y+z\right)=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right) \)\(\Leftrightarrow x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)+z^2\left(x+y\right)+x^3+y^3+z^3+3xyz=x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)+z^2\left(x+y\right)+2xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+xyz=0\)
\(\Rightarrow\left(x^3+y^3+z^3+xyz\right)\left(x+y+z\right)=0 \)
Ta cũng thấy Q=\(Q=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=\dfrac{x^2\left(z+x\right)\left(x+y\right)+y^2\left(y+z\right)\left(x+y\right)+z^2\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3+xyz\right)\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}=0\)
DC
2 tháng 6 2017
C2 nè :
\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1\)
\(P=\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=x+y+z .\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}+\dfrac{y^2+y\left(x+z\right)}{z+x}+\dfrac{z^2+z\left(x+y\right)}{x+y}=x+y+z.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+x+\dfrac{y^2}{z+x}+y+\dfrac{z^2}{x+y}+z=x+y+z \left(ĐPCM\right)\)
LC
25 tháng 9 2018
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=\left(y+z-2x\right)^2+\left(z+x-2y\right)^2+\left(x+y-2z\right)^2\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=6x^2+6y^2+6z^2-6xy-6yz-6zx\)
\(\Rightarrow4x^2+4y^2+4z^2-4xy-4yz-4zx=0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)
đề sao rùi bạn