Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}}\)+ \(\frac{4x\sqrt{x}+4x}{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}\)với x>0
(chắc chắn đúng đề mặc dù hơi vô li)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có: \(4x^2+9x+18\sqrt{x}+9=4x^2+9\left(\sqrt{x}+1\right)^2\),\(4x\sqrt{x}+4x=4x\left(\sqrt{x}+1\right)\)
Đặt \(a=x,b=\sqrt{x}+1\)ta có:
\(A=\frac{4a^2+9b^2}{4ab}+\frac{4ab}{4a^2+9b^2}=t+\frac{1}{t},t=\frac{4a^2+9b^2}{4ab}\)
có \(\frac{4a^2+9b^2}{4ab}=t\Rightarrow4a^2-t.4ab+9b^2=0\Leftrightarrow4.\left(\frac{a}{b}\right)^2-4t.\frac{a}{b}+9=0,\)do a khác 0.
Đặt \(\frac{a}{b}=y\Rightarrow4y^2-t.4y+9=0\), \(\Delta=16t^2-36\ge0\Leftrightarrow t\ge\frac{3}{2}\left(t>0\right)\)
xét \(f\left(t\right)=t+\frac{1}{t}\left(t\ge\frac{3}{2}\right)\)
lấy \(\frac{3}{2}< t_1< t_2\)
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\left(\frac{t_1.t_2-1}{t_1.t_2}\right)< 0\)
suy ra với t càng tăng thì f(t) càng lớn vậy min \(f\left(t\right)=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{13}{6}\)
các em tự tìm x nhé.
bài này bạn áp dụng BĐT cô si cko 2 số dương là đc.
đáp án: Min A= 2
\(\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}}+\frac{4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}}{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}-2=\frac{\left(-4x\sqrt{x}+4x^2+9x+22\sqrt{x}+9\right)^2}{\left(4x^2+9x+18\sqrt{x}+9\right)\left(4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}\right)}\ge0\)
Đặt \(M=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}\left(x>0\right)\Rightarrow M>0\)
Đặt \(y=\sqrt{x}>0\)ta có \(M=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}=\frac{4y^4+9y^2+18y+9}{4y^3+4y^2}\)\(=\frac{3\left(4y^3+4y^2\right)+\left(4y^2-12y^3-3y^2+18y+9\right)}{4y^3+4y^2}=3+\frac{\left(2y^2-3y-3\right)^2}{4y^3+4y^2}\ge3\)
\(y>0\Rightarrow\hept{\begin{cases}4y^3+4y^2>0\\\left(2y^2-3y-3\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\frac{\left(2y-3y-3\right)^2}{4y^3+4y^2}\ge0}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow2y^2-3y-3=0\Leftrightarrow y=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\left(y>0\right)\)
\(\Rightarrow x=\left(\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right)^2=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)
Khi đó \(A=M+\frac{1}{M}=\frac{8M}{9}+\left(\frac{M}{9}+\frac{1}{M}\right)\ge\frac{8\cdot3}{9}+2\sqrt{\frac{M}{9}\cdot\frac{1}{M}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}M=3\\\frac{M}{9}=\frac{1}{M}\end{cases}\Leftrightarrow M=3\Leftrightarrow x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)
\(-----------\)
Đặt \(\alpha=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}\)và \(t=\sqrt{x}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\alpha>0\\t>0\end{cases}\left(i\right)}\) với mọi \(x>0\)
Khi đó, ta biểu diễn lại \(\alpha\) dưới dạng biến số \(t\) như sau:
\(\alpha=\frac{4t^4+9t^2+18t+9}{4t^3+4t^2}=\frac{3\left(4t^3+4t^2\right)+\left(4t^4-12t^3-3t^2+18t+9\right)}{4t^3+4t^2}\)
nên \(\alpha=3+\frac{\left(2t^2-3t-3\right)^2}{4t^3+4t^2}\ge0\) với mọi \(t>0\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}4t^3+4t^2>0\\2t^2-3t-3\ge0\end{cases}}\) (do \(\Delta_t>0\) )
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(2t^2-3t-3=0\)
Ta thành lập biệt thức \(D=b^2-4ca\) với tập xác định của pt là \(t\in\left(0;\infty\right)\) như sau:
\(\Delta_t=3^2+4.2.3=33\)
Do đó, ta tính được \(t_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4};\) \(t_2=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\)
Nhưng ta chỉ chấp nhận
\(t=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\) (do điều kiện \(\left(i\right)\) ) làm nghiệm duy nhất của pt.
\(\Rightarrow\) \(x=\left(\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right)^2=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)
\(-----------\)
Mặt khác, ta lại áp dụng bđt \(AM-GM\) loại hai cho bộ số với hai số thực không âm gồm \(\left(\frac{\alpha}{9};\frac{1}{\alpha}\right)\) , ta có:
\(A=\alpha+\frac{1}{\alpha}=\left(\frac{\alpha}{9}+\frac{1}{\alpha}\right)+\frac{8\alpha}{9}\ge2\left(\frac{\alpha}{9}.\frac{1}{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{8.3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\alpha=3\\\frac{\alpha}{9}=\frac{1}{\alpha}\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\alpha=3\) \(\Leftrightarrow\) \(x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)
Vậy, \(A_{min}=\frac{10}{3}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)
Điều kiện x>0
Đặt a = 4x2 + 9x + 18 √x +9
b = 4x√x + 4x
Từ đó ta có A = a/b + b/a >= 2
Vậy giá trị nhỏ nhất là A = 2 khi a/b = b/a
Phần còn lại bạn tự làm nha
=>\(5\cdot\dfrac{3\sqrt{x-3}}{5}-7\cdot\dfrac{2\sqrt{x-3}}{3}-7\cdot\sqrt{x^2-9}+18\cdot\sqrt{\dfrac{9}{81}\left(x^2-9\right)}=0\)
=>\(3\cdot\sqrt{x-3}-\dfrac{14}{3}\sqrt{x-3}=7\cdot\sqrt{x^2-9}-18\cdot\dfrac{3}{9}\cdot\sqrt{x^2-9}\)
=>\(-\dfrac{5}{3}\sqrt{x-3}=\sqrt{x^2-9}\)
=>\(\sqrt{x-3}\left(\sqrt{x+3}+\dfrac{5}{3}\right)=0\)
=>x-3=0
=>x=3
c: Ta có: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{9x-9}-\sqrt{4x-4}=4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=4\)
\(\Leftrightarrow x-1=4\)
hay x=5
e: Ta có: \(\sqrt{4x^2-28x+49}-5=0\)
\(\Leftrightarrow\left|2x-7\right|=5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-7=5\\2x-7=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=1\end{matrix}\right.\)
a. ĐKXĐ: $x\in\mathbb{R}$
PT $\Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2}=2-x$
$\Leftrightarrow |x-2|=2-x$
$\Leftrightarrow 2-x\geq 0$
$\Leftrightarrow x\leq 2$
b. ĐKXĐ: $x\geq 2$
PT $\Leftrightarrow \sqrt{4}.\sqrt{x-2}-\frac{1}{5}\sqrt{25}.\sqrt{x-2}=3\sqrt{x-2}-1$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}=3\sqrt{x-2}-1$
$\Leftrightarrow 1=2\sqrt{x-2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\sqrt{x-2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}=x-2$
$\Leftrightarrow x=\frac{9}{4}$ (tm)
`a)sqrt{5x-2}=3(x>=2/5)`
`<=>5x-2=9`
`<=>5x=11`
`<=>x=11/5(tm)`
`b)sqrt{x^2-4x+4}-5=0`
`<=>\sqrt{(x-2)^2}=5`
`<=>|x-2|=5`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x-2=5\\x-2=-5\end{array} \right.\)
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=7\\x=-3\end{array} \right.\)
`c)3sqrt{4x+8}-sqrt{9x+18}+9sqrt{(x+2)/9}=sqrt{72}(x>=-2)`
`<=>6sqrt{x+2}-3sqrt{x+2}+3sqrt{x+2}=sqrt{72}`
`<=>6sqrt{x+2}=6sqrt2`
`<=>sqrt{x+2}=sqrt2`
`<=>x+2=2`
`<=>x=0(tm)`
\(a,ĐK:x\ge\dfrac{2}{5}\)
\(\Leftrightarrow5x-2=9\)
\(\Leftrightarrow5x=11\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{5}\)
\(b,\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+4=25\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-21=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5+\sqrt{109}}{2}\\x=\dfrac{5-\sqrt{109}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(c,\)
\(\Leftrightarrow6\sqrt{x+2}-3\sqrt{x+2}+9\cdot\sqrt{\dfrac{x+2}{9}}=6\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}+3\cdot\sqrt{\dfrac{x+2}{9}}=2\sqrt{2}\)
Đặt \(\sqrt{x+2}=a\) ta có (1)
\(2a-a+3\cdot\dfrac{a}{\sqrt{9}}=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow a+3\cdot\dfrac{a}{3}=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow2a=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow a=\sqrt{2}\)
Thay \(a=\sqrt{2}\) vào (1) ta có
\(\sqrt{x+2}=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x+2=2\)
\(\Leftrightarrow x=0\)
nhấn vào đọc thêm mới hiện câu hỏi