K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAEB∼ΔAFC

Suy ra: AE/AF=AB/AC

hay AE/AB=AF/AC

Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC
góc A chung

Do đó: ΔAEF∼ΔABC

Suy ra: \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

NV
17 tháng 2 2022

\(P=\dfrac{a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)}{abc}=\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)+ab\left(a+b\right)}{abc}\)

\(P=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge\dfrac{a^2+b^2}{ab}+2\sqrt{\dfrac{ab}{a^2+b^2}}\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{ab}}=x\ge\sqrt{2}\)

\(P=x^2+\dfrac{2}{x}=\left(1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)x^2+\dfrac{x^2}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\)

\(P\ge\left(1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right).2+3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{2\sqrt{2}x^2}}=2+\sqrt{2}\)

\(P_{min}=2+\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\Rightarrow a=b\) hay tam giác vuông cân

NV
17 tháng 2 2022

Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác

\(\Rightarrow a< b+c\Rightarrow2a< a+b+c=6\Rightarrow a< 3\)

Chứng minh tương tự ta được: \(b< 3;c< 3\)

\(\Rightarrow3-a>0;3-b>0,3-c>0\)

Do đó:

\(\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\dfrac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{9-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27\le1\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-27\le1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge3\left(ab+bc+ca\right)-28\)

\(\Leftrightarrow2abc\ge6\left(ab+bc+ca\right)-56\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-56\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-56=52\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

NV
17 tháng 2 2022

BĐT vế phải:

Vẫn từ chứng minh trên, \(3-a>0;3-b>0,3-c>0\)

\(\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27>0\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-27>0\)

\(\Leftrightarrow abc< 3\left(ab+bc+ca\right)-27\)

\(\Leftrightarrow2abc< 6\left(ab+bc+ca\right)-54\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-54\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 3\left(a+b+c\right)^2-54=54\) (đpcm)

NV
17 tháng 2 2022

Chắc là \(P=\dfrac{1}{1+2x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+2z}\)

Do \(xyz=1\), đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{b}{a};\dfrac{c}{b};\dfrac{a}{c}\right)\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{1+\dfrac{2b}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2c}{b}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2a}{c}}=\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\)

\(P=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=1\)

\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z=1\)

NV
17 tháng 2 2022

Ủa sao giả thiết là a;b;c mà biểu thức lại là x;y;z vậy em?

5 tháng 3 2022

a. -Xét △AID: AD//BJ (ABCD là hình bình hành).

\(\Rightarrow\dfrac{IA}{IJ}=\dfrac{ID}{IB}\) (định lí Ta-let). (1)

-Xét △AIB: AB//DK (ABCD là hình bình hành).

\(\Rightarrow\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{ID}{IB}\) (định lí Ta-let). (2)

-Từ (1), (2) suy ra: \(\dfrac{IA}{IJ}=\dfrac{IK}{IA}\) nên \(IA^2=IK.IJ\).

b. -Có: \(\dfrac{IA}{IJ}=\dfrac{IK}{IA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{IA+IJ}{IJ}=\dfrac{IK+IA}{IA}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AJ}{IJ}=\dfrac{AK}{IA}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{IA}=\dfrac{AJ+AK}{IJ+IA}=\dfrac{AJ+AK}{AJ}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{IA}=\dfrac{AJ+AK}{AJ.AK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{IA}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AJ}\)

 

5 tháng 3 2022

mik cảm ơn 

 

2 tháng 4 2022

C/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\) (*)

Thật vậy , (*) \(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(a+2\right)\left(c+2\right)=\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+4\left(a+b+c\right)+12=abc+2\left(ab+bc+ac\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+abc=4\) (Đ)

=> (*) đúng ( đpcm ) 

2 tháng 4 2022

 Dạ , em đã hiểu rồi ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ

NV
6 tháng 4 2022

Do \(2x^2-1\) luôn lẻ \(\Rightarrow y^3\) lẻ \(\Rightarrow y\) lẻ \(\Rightarrow y=2k-1\) với \(k>1\)

\(2x^2-1=\left(2k-1\right)^3=8k^3-12k^2+6k-1\)

\(\Rightarrow x^2=4k^3-6k^2+3k=k\left(4k^2-6k+3\right)\)

- Nếu \(k⋮3\Rightarrow x^2⋮3\Rightarrow x⋮3\)

- Nếu \(k⋮̸3\), gọi \(d=ƯC\left(4k^2-6k+3;k\right)\) với \(d\ne3\)

\(\Rightarrow4k^2-6k+3-k\left(4k-6\right)⋮d\) 

\(\Rightarrow3⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow4k^2-6k+3\) và \(k\) nguyên tố cùng nhau

Mà \(k\left(4k^2-6k+3\right)=x^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k^2=m^2\\4k^2-6k+3=n^2\end{matrix}\right.\) 

Xét \(4k^2-6k+3=n^2\Rightarrow16k^2-24k+12=\left(2n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(4k-3\right)^2+3=\left(2n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2n-4k+3\right)\left(2n+4k-3\right)=3\)

Giải pt ước số cơ bản này ta được nghiệm nguyên dương duy nhất \(k=1\) (không thỏa mãn \(k>1\))

Vậy \(x⋮3\)

6 tháng 4 2022

Em cám ơn thầy Lâm ạ!

NV
6 tháng 4 2022

Ta có: \(59\equiv3\left(mod7\right)\Rightarrow59^n\equiv3^n\left(mod7\right)\)

Tương tự: \(17^n\equiv3^n\left(mod7\right)\) ; \(9^n\equiv2^n\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow A\equiv3^n-3^n-2^n+2^n\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow A⋮7\)

Vẫn tương tự, ta có: \(A\equiv4^n-2^n-4^n+2^n\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow A⋮5\)

Mà 7 và 5 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow A⋮35\)

NV
17 tháng 2 2022

Đặt \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b}\)

\(P=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{ac+cd}+\dfrac{d^2}{ad+bd}\)

\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+2ac+bc+2bd+cd+ad}=\dfrac{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}\)

\(P\ge\dfrac{4ac+4bd+2ab+2bc+2cd+2ad}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

17 tháng 2 2022

Cám ơn thầy Lâm nhiều lắm ạ!

NV
6 tháng 4 2022

Nhận xét: với mọi n nguyên thì \(n^2\equiv\left\{0;1;2;4\right\}\left(mod7\right)\)

Giả sử a;b tồn tại 1 số không chia hết cho 7

\(\Rightarrow a^2+b^2\equiv\left\{1;2;3;4;5;6;8\right\}\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\) luôn ko chia hết cho 7 (trái với giả thiết)

Vậy điều giả sử là sai hay \(a;b\) đều chia hết cho 7