cho a, b,c,d là số nguyên dương. Chứng tỏ rằng:
1<a/a+b+c+b/b+c+d+c/c+d+a+d/d+c+b<2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 3 2019
Ta có \(\frac{a}{a+b+c}\)> \(\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{b+c+a}\)> \(\frac{b}{b+c+a+d}\)
tương tự ....
suy ra cái đề > 1 dpcm
10 tháng 7 2015
+ Vì a+ b + c > a + b => \(\frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}\)
Tương tự, \(\frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{b+c}\); \(\frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}\)
=> \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
=> \(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) (*)
+ ta có: Nếu phân số \(\frac{x}{y}<1\) thì \(\frac{x}{y}<\frac{x+m}{y+m}\)
Áp dụng với \(\frac{a}{a+b}<1;\frac{b}{b+c}<1;\frac{c}{c+a}<1\) ta có:
\(\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}<\frac{b+a}{b+c+a};\frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{c+a+b}\). cộng từng vế ta được
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+a} +\frac{c+b}{c+a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(**)
Từ (*)(**) => \(1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\)
Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không là số nguyên
10 tháng 7 2015
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không phải là số nguyên
=>đpcm
2 tháng 4 2018
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a},\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)
\(\Rightarrow A>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c},\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a},\frac{c}{a+a}< 1\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{c+a+b}\)
\(\Rightarrow A< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{c+a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vậy \(1< A< 2\Rightarrow A\)không phải là một số nguyên dương
17 tháng 4 2021
Có $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=(a+b)^2+(c+d)^2+e^2-2ab-2cd$
$=(a+b+c+d)^2+e^2 -2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$
$=(a+b+c+d+e)^2-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$
Mà $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\vdots 2;-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd \vdots 2$ nên $(a+b+c+d+e)^2 \vdots 2$
Suy ra $a+b+c+d+e \vdots 2$
$a;b;c;d;e$ nguyên dương nên $a+b+c+d>2$
suy ra $a+b+c+d+e$ là hợp số