Question

[Minh Hiếu]

Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Gọi O là trung điểm của BC. Một góc xOy bằng 60^o quay quanh điểm O sao cho hai cạnh Ox, Oy luôn cắt AB và AC lần lượt tại M và N.

a) cm: Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO.

b) cm: BC²=4BM.CN.

c) Khoảng cách từ điểm O đến MN không đổi khi Ox; Oy thay đổi.

d) Từ O vẽ đường thẳng d bất kì cắt AB; AC tại P; Q.

CMR: \(\dfrac{1}{AP}+\dfrac{1}{AQ}\) không đổi.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a.

a.

\(\widehat{BMO}+\widehat{B}+\widehat{BOM}=\widehat{BOM}+\widehat{MON}+\widehat{CON}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BMO}=\widehat{CON}\) (do \(\widehat{B}=\widehat{MON}=60^0\))

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\\\widehat{BMO}=\widehat{CON}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OBM\sim\Delta NCO\) (g.g)

b.

Từ câu a \(\Rightarrow\dfrac{OB}{CN}=\dfrac{BM}{OC}\Rightarrow OB.OC=BM.CN\Rightarrow\dfrac{BC}{2}.\dfrac{BC}{2}=BM.CN\Rightarrow...\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

c.

Lần lượt kẻ OD và OE vuông góc MN và AB.

Do O cố định \(\Rightarrow\) OE cố định

Từ câu a ta có: \(\dfrac{BM}{OC}=\dfrac{OM}{ON}\Rightarrow\dfrac{BM}{OM}=\dfrac{OC}{ON}=\dfrac{OB}{ON}\) (1)

Đồng thời \(\widehat{B}=\widehat{MON}=60^0\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\Delta OBM\sim\Delta NOM\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BMO}=\widehat{OMN}\)

\(\Rightarrow\Delta_VOME=\Delta_VOMD\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow OD=OE\), mà OE cố định \(\Rightarrow OD\) cố định