Cho x,y là các số dương thỏa mãn: x+3y\(\le\)10
CMR:: \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
RD
23 tháng 3 2019
Ta có:\(\left(1+9\right)\left(x+3y\right)\ge\left(\sqrt{x}+3\sqrt{3y}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+3\sqrt{3y}\le10\)
Đặt \(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}+\frac{27}{\sqrt{3y}}+3\sqrt{3y}-\left(\sqrt{x}+3\sqrt{3y}\right)\)
\(P\ge2+18-10=10\)
"="<=>x=1;y=3
ML
19 tháng 6 2015
+\(10=x+3y=x+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}\ge10\sqrt[10]{\frac{1}{3^9}x.y^9}\)
\(=\frac{10}{3}.\sqrt[10]{3}.\sqrt[10]{xy^9}\)
\(\Rightarrow xy^9\le3^9\)
+\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{3y}}+\frac{3}{\sqrt{3y}}+.....+\frac{3}{\sqrt{3y}}\)
\(\ge10\sqrt[10]{\frac{3^9}{\sqrt{3^9x.y^9}}}\ge10\sqrt[10]{\frac{3^9}{\sqrt{3^9.3^9}}}=10\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=1;y=3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 7 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT SVac-xơ:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}\geq \frac{(1+3+3+3)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{x+3\sqrt{3y}}(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x+3y)(1+9)\geq (\sqrt{x}+3\sqrt{3y})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}+3\sqrt{3y}\leq \sqrt{10(x+3y)}\leq 10(2)\) do \(x+3y\leq 10\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{x+3\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{10}=10\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x}}{1}=\frac{\sqrt{3y}}{3}; x+3y=10\Rightarrow x=1;y=3\)
4 tháng 9 2021
Ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{27}{\sqrt{3y}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{81}{3\sqrt{3y}}\ge\dfrac{\left(1+9\right)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}=\dfrac{100}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\) (1)
Áp dụng BĐT của Cô-si ta có:
\(\sqrt{x}=\sqrt{1.x}\le\dfrac{1+x}{2};3\sqrt{3y}\le\dfrac{9+3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\ge\dfrac{100}{\dfrac{1+x}{2}+\dfrac{9+3y}{2}}=\dfrac{100}{\dfrac{10+x+3y}{2}}\ge\dfrac{100}{\dfrac{10+10}{2}}=\dfrac{100}{10}=10\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x=1;y=3
T
19 tháng 9 2019
Nhớ có câu tương tự bài này mà sao nót ko hiển thị nhỉ? Thôi kệ nhai lại vậy:v
\(gt\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)=4\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3\)
Ta có: \(LHS=\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{b}\right)^2+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(a+b\right)}}\) (thay cái giả thiết vào:v)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{ab+a+b+1}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{4}\right)+\frac{1}{2}\) (1)
Từ giả thiết dễ dàng chứng minh \(ab\le1\). Từ đó thay vào (1) ta có đpcm.
25 tháng 9 2019
Nhớ có câu tương tự bài này mà sao nót ko hiển thị nhỉ? Thôi kệ nhai lại vậy:v
gt\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)=4gt⇔(x1+1)(y1+1)=4
Đặt \frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3x1=a;y1=b⇒(a+1)(b+1)=4⇒ab+a+b=3
Ta có: LHS=\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}LHS=3x2+11+3y2+11
=\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{b}\right)^2+1}}=3(a1)2+11+3(b1)2+11
=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(a+b\right)}}=a2+3a+b2+3b=(a+1)(a+b)a+(b+1)(a+b)b (thay cái giả thiết vào:v)
\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)+\frac{1}{2}≤21(a+1a+b+1b+a+ba+b)=21(a+1a+b+1b)+21
=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{ab+a+b+1}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{4}\right)+\frac{1}{2}=21(ab+a+b+1ab+3)+21=21(4ab+3)+21 (1)
Từ giả thiết dễ dàng chứng minh ab\le1ab≤1. Từ đó thay vào (1) ta có đpcm.
29 tháng 7 2019
Ta có \(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)(BĐT buniacoxki)
=>\(VT\le\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{y+\sqrt{yx}+\sqrt{yz}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{yz}}\)
=> \(VT\le\frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
dùng buniacosky với x+3y<10 là dc
Giải ra