Cho n là một số nguyên dương thoả mản n+1 và 2n+1 là hai số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 24
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
các cậu xét số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 và số chính phương chia 8 dư 0; 1 hoặc 4
Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên
2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮42n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4
Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra
n+1≡1(mod8)⇒n⋮8n+1≡1(mod8)⇒n⋮8
Lại có
(n+1)+(2n+1)=3n+2(n+1)+(2n+1)=3n+2
Ta thấy
3n+2≡2(mod3)3n+2≡2(mod3)
Suy ra
(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên
n+1≡2n+1≡1(mod3)n+1≡2n+1≡1(mod3)
Do đó
n⋮3n⋮3
Vậy ta có đpcm.
Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bài này hay thật mình thì chỉ nghĩ ra mỗi cách này. Nhưng ko biết vs học phô thông thì tư duy thế nào
1 số chính phương có tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9
N+1 tận cùng =9=> n tận cùng bằng 8 => 2n+1 tận cùng =7 => loại
(2n+1)-(n+1)=n=a^2-b^2=(a-b)(a+b)
2n+1 là số lẻ => a lẻ
N chẵn=> b chẵn
1 số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1 => (a+b)(a-b) chia hết cho 8
Còn nó chia hết cho 3 hay không thì phải dùng định lý của fermat đẻ giải
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem
như vậy chưng minh no chia het cho 8 và 3 là có thể két luạn nó chia hêt cho 24
Vì n+1 và 2n+1 là số chính phương nên ta đặt n+1=k2 và 2n+1=m2 (k,m \(\in\)N)
Ta có: 2n+1 là số lẻ => m2 là số lẻ =>m là số lẻ
=>m=2a+1 (a \(\in\) N)
=>m2=(2a+1)2=(2a)2+2.2a.1+12
=4a.a+4.a+1
=4a(a+1)+1
=>n=\(\frac{2n-1}{2}=\frac{4a\left(a+1\right)+1-1}{2}=\frac{4a\left(a+1\right)}{2}=2a\left(a+1\right)\)
=>n là số chẵn
=>n+1 là số lẻ => n+1=2b+1 (b \(\in\)N)
=>k2=(2b+1)2=(2b)2+2.2b.1+12
=4b.b+4b+1
=4b(b+1)+1
=>n=4b(b+1)+1-1=4b(b+1)
Ta có: b(b+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp
=>4b(b+1) chia hết cho 2.4=8 (1)
Ta có: k2+m2=(n+1)+(2n+1)=3n+2=2 (mod 3)
Mà k2 chia 3 dư 0 hoặc 1; m2 chia 3 dư 0 hoặc 1
=>Để k2+m2 =2 (mod 3)
thì k2=1 (mod 3)
và m2=1 (mod 3)
=>m2-k2 chia hết cho 3
=>(2n+1)-(n+1)=n chia hết cho 3
Vậy n chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) và (8;3)=1
=>n chia hết cho 8.3=24 (đpcm)
Giả sử \(n+1=a^2\) ; \(2n+1=b^2\) \(\left(a,b\in N^{\text{*}}\right)\)
Ta có b là số lẻ \(\Leftrightarrow b=2m+1\Rightarrow b^2=4m\left(m+1\right)+1\Rightarrow n=2m\left(m+1\right)\)
=> n chẵn => n + 1 lẻ => a lẻ => a = 2k+1 => \(n+1=\left(2k+1\right)^2=4k\left(k+1\right)+1\Rightarrow n=4k\left(k+1\right)⋮8\)
Vậy n chia hết cho 8
Ta có : \(a^2+b^2=3n+2\equiv2\)(mod 3)
Mặt khác : \(b^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1 , \(a^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1
=> Để \(a^2+b^2\equiv2\)(mod 3) thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) và \(b^2\equiv1\)(mod 3)
\(\Rightarrow b^2-a^2\)chia hết cho 3
Ta có : n = (2n + 1) - (n + 1) = \(b^2-a^2\)chia hết cho 3
Như vậy \(n⋮3,n⋮8\) mà (3,8) = 1
=> \(n⋮24\)
đặt 2n + 34 = a^2
34 = a^2-n^2
34=(a-n)(a+n)
a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)
=> a-n 1 2
a+n 34 17
Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ
Vậy ....
Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.
=> S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP