Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AC và BD cắt nhau tại E .Một đường tròn qua B ,C cắt CD ,AB theo thức tự tại M,N .Gọi H là giao điểm của BM với CN .Một đường thẳng qua H cắt AC,BD the thứ...

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Gọi E là giao điểm của AB, CD. F là giao điểm của AC và BD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC tại điểm K khác D. Tiếp tuyến của O tại BC cắt nhau tại M

a) CM tứ giác BKCM nội tiếp.

b) CM E,M,F thẳng hàng

#Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

18 tháng 9 2018

a) Ta thấy: Điểm K nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)BDE nên tứ giác DKBE nội tiếp đường tròn

=> ^BEK = ^BDK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BK) hay ^AEK = ^FDK

Mà tứ giác DKFC nội tiếp đường tròn => ^FDK = ^FCK

Nên ^AEK = ^FCK hay ^AEK = ^ACK => Tứ giác AKCE nội tiếp đường tròn

=> ^KAE = ^KCD (Cùng bù ^KCE) hay ^KAB = ^KCD

Do tứ giác BKDE nội tiếp đường tròn nên ^KDE = ^KBA hay ^KBA = ^KDC

Xét \(\Delta\)DKC và \(\Delta\)BKA có: ^KAB = ^KCD; ^KBA = ^KDC => \(\Delta\)DKC ~ \(\Delta\)BKA (g.g)

=> \(\frac{KC}{KA}=\frac{KD}{KB}\Rightarrow\frac{KC}{KD}=\frac{KA}{KB}\).

Đồng thời ^DKC = ^BKA => ^DKC + ^BKC = ^BKA + ^BKC => ^BKD = ^AKC

Xét \(\Delta\)KBD và \(\Delta\)KAC có: ^BKD = ^AKC; \(\frac{KC}{KD}=\frac{KA}{KB}\)=> \(\Delta\)KBD ~ \(\Delta\)KAC (c.g.c)

=> ^KBD = ^KAC hoặc ^KBF = ^KAF => Tứ giác AKFB nội tiếp đường tròn

=> ^BKF = ^BAF (2 góc nội tiếp chắn cung BF) => ^BKF = ^BAC = ^BDC (Do ^BAC và ^BDC cùng chắn cung BC) (1)

Ta có: ^BDC = ^FDC = ^FKC (Cùng chắn cung FC) (2)

Xét \(\Delta\)BMC: ^BMC + ^MBC + ^MCB = 180⁰. Mà ^MBC = ^BAC; ^MCB = ^BDC (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Nên ^BAC + ^BDC + ^BMC = 180⁰ (3)

Thế (1); (2) vào (3) ta được: ^BKF + ^FKC + ^BMC = 180⁰ => ^BKC + ^BMC = 180⁰

=> Tứ giác BKCM nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Ta có: ^BKF = ^BDC (cmt) => ^BKF = ^BDE = ^BKE (Do tứ giác DKBE nội tiếp đường tròn)

Mà 2 điểm F và E nằm cùng phía so với BK => 3 điểm K;F;E thẳng hàng. Hay F nằm trên KE (*)

Mặt khác: ^BKF = ^CKF (Vì ^BKF = ^BAC; ^CKF = ^BDC; ^BAC = ^BDC)

=> ^BKE = ^CKE (Do K;F;E thẳng hàng) => ^KE là phân giác của ^BKC (4)

Xét tứ giác BKCM nội tiếp đường tròn: ^MBC = ^MKC; ^MCB = ^MKB

Lại có: \(\Delta\)BCM cân ở M do MB=MC (T/c 2 tiếp tuyến giao nhau) => ^MBC=^MCB

Từ đó: ^MKC = ^MKB => KM là phân giác của ^BKC (5)

Từ (4) và (5) suy ra: 3 điểm K;M;E thẳng hàng. Hoặc M nằm trên KE (**)

Từ (*) và (**) => 3 điểm E;M;F thẳng hàng (đpcm).

Đúng(0)

NV

Nguyễn Văn Tú

1 tháng 6 2018 - olm

từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Đường tròn I đường kính AB cắt BC tại H và cắt đường tròn O tại D (D khác B).b) gọi K là giao điểm của OI với BD. Chứng minh tứ giác AIKH nội tiếp.c) Đường tròn (I) cắt AC tại E. Gọi F là giao điểm của OA với BE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

2 tháng 6 2018

b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=90⁰.

Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1)

AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => \(\Delta\)ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC

=> AO vuông góc BC (2)

Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=90⁰.

Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=90⁰ => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB

=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB

Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 180⁰ nên ^HAI + ^KHI = 180⁰

=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD

\(\Delta\)ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC

Từ đó suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta\)BDC

=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 180⁰ (3). Đồng thời \(\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}\)

Tương tự KI là đường trg bình của \(\Delta\)BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 180⁰ (4) Và \(\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)

Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 360⁰

<=> ^HKI = 360⁰ - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.

Xét \(\Delta\)HKI và \(\Delta\)CDA: ^HKI=^CDA; \(\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)=> \(\Delta\)HKI ~ \(\Delta\)CDA (c.g.c)

=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.

Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK

=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).

Đúng(1)

TV

Thảo Vi

10 tháng 6 2015 - olm

Cho hình thang cân ABCD (AB>CD, AB//CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.a) Chứng minh tứ giác AEDO nội tiếp được trong một đường tròn.b) chứng minh AB// EMc) đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. Chứng minh 2/HK= 1/AB...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

ML

Mộc Ly Tâm

18 tháng 3 2021

cho tứ giác ABCD(AD>BC) nội tiếp đường tròn đường kinh AB. Hai đường chéo AC VÀ BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu của E trên AB.a, Chứng minh ADEH là tứ giác nội tiếpb, Tia CH cắt đường tròn (O) tạo điểm thứ 2 là K.Gọi I là giao điểm của DK và A...

#Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

18 tháng 3 2021

a) Xét (O) có

ΔADB nội tiếp đường tròn(A,D,B∈(O))

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D(Định lí)

⇒\(\widehat{ADB}=90^0\)

hay \(\widehat{ADE}=90^0\)

Xét tứ giác ADEH có

\(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{AHE}\) là hai góc đối

\(\widehat{ADE}+\widehat{AHE}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ADEH là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Đúng(1)

NT

Ngọc Tuệ Đình Trần

11 tháng 4 2018 - olm

cho tam giác ABC nhọn , AB<AC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của DE và CB.

a)CMR: Tứ giác BCDE nội tiếp

b) C/m : KB.KC=KE.KD

c) Gọi M là trung điểm của BC , AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 N . C/m : 3 điểm M,H,N thẳng hàng

#Toán lớp 9

0

PH

phạm hoàng

18 tháng 11 2018 - olm

1. cho tam giác ABC.Tia Ax nằm khác phía với AC đối với đường thẳng AB thỏa mãn góc xAB bằng góc ACB.chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC2.cho nửa đường tròn (O) đường kính AB trên đoạn AB lấy điểm M,gọi H là trung điểm của AM.đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C .đường tròn đường kính MB cắt BC tại I. CM HI là tiếp tuyến của đường tròn...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

XK

x Khải's

10 tháng 10 2019 - olm

Cho tg ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt CG tại M. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N. Gọi X,Y theo thứ tự là giao điểm của CN,AN và đường thẳng qua B// với AC;Z,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C // với AB.C/m ư

a.AB.CZ=AC.BX

b. MAB=NAC

#Toán lớp 9

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP