Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{DBC}=45^0\Rightarrow AQMB\) nội tiếp. \(\left(1\right)\)
b, Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\widehat{MQA}+\widehat{MBA}=180^0\Rightarrow\widehat{AQM}=90^0\left(\widehat{ABC}=90^0\right)\)
\(\Rightarrow MQ\perp AN\)
Tương tự như trên ta có: \(NP\perp AM\Rightarrow H\) là trực tâm của \(\Delta AMN\)
\(\Rightarrow AH\perp MN\left(đpcm\right)\)
c, Gọi \(AH\)\(∩\) \(MN=E\)
Gọi \(AF\perp AM,F\in CD\Rightarrow\widehat{FAD}=\widehat{BAM}\left(+\widehat{MAD}=90^0\right)\)
Lại có: \(\widehat{ADF}=\widehat{ABM}=90^0,AD=AB\Rightarrow\Delta ADF=\Delta ABM\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow AF=AM\)
Lại có: \(\widehat{NAF}=\widehat{MAN}=45^0\Rightarrow\Delta FAN=\Delta MAN\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow MN=FN\Rightarrow MN+NC+CM=NF+NC+CM=DN+CN+DF+CM\)
\(=\left(DN+CN\right)+\left(BM+CM\right)=CD+CB=2AD\)
Lại có tiếp: \(\hept{\begin{cases}AE\perp MN\\AD\perp NF\end{cases}}\Rightarrow AE=AD\)
\(\Rightarrow S_{ANM}=\frac{1}{2}.AE.MN=\frac{1}{2}.AD.MN\)
Lại có tiếp: \(MN\le MC+NC\)
\(\Rightarrow2MN\le MN+MC+NC=2AD\)
\(\Rightarrow MN\le AD\)
\(\Rightarrow S_{ANM}=\frac{1}{2}.AD.MN\le\frac{1}{2}AD^2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}M\equiv B\\M\equiv C\end{cases}}\)
(Rối thực sự -.- )
5:
5.1: Xét tứ giác ABDC có
M là trung điểm chung của AD và BC
AB=AC
Do đó: ABDC là hình thoi
5.2: Xét tứ giác DMEC có
K là trung điểm chung của DE và MC
=>DMEC là hình bình hành
=>DM//ECvà DM=EC
mà AM=MD và A,M,D thẳng hàng
nên MA//EC và MA=EC
ΔABC cân tại A có AM là trung tuyến
nên AM vuông góc BC
Xét tứ giác AMCE có
AM//CE
AM=CE
góc AMC=90 độ
Do đó: AMCE là hình chữ nhật
5.3:
AMCE là hình chữ nhật
=>AE//CM và AE=CM
mà B,M,C thẳng và MB=MC
nên MB//AE và MB=AE
=>AEMB là hình bình hành
=>AM cắt EB tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của BE
a) △APQ và △BMQ có: \(\widehat{PAQ}=\widehat{MBQ}=45^0\); \(\widehat{AQP}=\widehat{BQM}\).
\(\Rightarrow\)△APQ∼△BMQ (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{QP}{QA}=\dfrac{QM}{QB}\Rightarrow\dfrac{QP}{QM}=\dfrac{QA}{QB}\).
△ABQ và △MPQ có: \(\dfrac{QP}{QM}=\dfrac{QA}{QB};\widehat{AQB}=\widehat{MQP}\)
\(\Rightarrow\)△ABQ∼△MPQ (c-g-c).
b) △ABQ∼△MPQ \(\Rightarrow\widehat{BAQ}=\widehat{MPQ}\).
△APQ và △BPA có: \(\widehat{PAQ}=\widehat{PBA}=45^0;\widehat{APB}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△APQ∼△BPA (g-g)\(\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{AQP}\).
Mà \(\widehat{AQP}+\widehat{APQ}=180^0-\widehat{PAQ}=180^0-45^0=135^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BAP}+\widehat{APQ}=135^0\)
\(\Rightarrow45^0+\widehat{BAQ}+\widehat{APQ}=135^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MPQ}+\widehat{APQ}=\widehat{APM}=90^0\)
Hay MP⊥AN tại P.
