cho các số a và b thay đổi thỏa mãn a3+b3=2. tìm tất cả các giá trị nguyên của a và b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 2 2022
Lời giải:
Tìm min:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^3+a^3+1\geq 3a^2$
$b^3+b^3+1\geq 3b^2$
$c^3+c^3+1\geq 3c^2$
$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow 2P+3\geq 9$
$\Leftrightarrow P\geq 3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $(a,b,c)=(1,1,1)$
----------------
Tìm max:
$a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2\leq 3$
$\Rightarrow a,b,c\leq \sqrt{3}$
Do đó: $a^3-\sqrt{3}a^2=a^2(a-\sqrt{3})\leq 0$
$\Rightarrow a^3\leq \sqrt{3}a^2$
Tương tự với $b,c$ và cộng theo vế:
$P\leq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)=3\sqrt{3}$
Vậy $P_{\max}=3\sqrt{3}$ khi $(a,b,c)=(\sqrt{3},0,0)$ và hoán vị.
M
0
12 tháng 2 2022
Do \(0\le a,b,c\le1\)
nên\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-1\right)\left(b-1\right)\ge0\\\left(b^2-1\right)\left(c-1\right)\ge0\\\left(c^2-1\right)\left(a-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b-b-a^2+1\ge0\\b^2c-c-b^2+1\ge0\\c^2a-a-c^2+1\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b\ge a^2+b-1\\b^2c\ge b^2+c-1\\c^2a\ge c^2+a-1\end{matrix}\right.\)
Ta cũng có:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)
Do đó \(T=2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)\(-\left(a^2+b-1+b^2+c-1+c^2+a-1\right)\)
\(=3\)
Vậy GTLN của T=3, đạt được chẳng hạn khi \(a=1;b=0;c=1\)
15 tháng 7 2023
\(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)
\(\Leftrightarrow1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)'
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a+b=0\), các trường hợp còn lại làm tương tự.
Khi đó từ \(a+b+c=1\) suy ra \(c=1\) (thỏa mãn). Thế thì \(T=0^{2023}+0^{2023}+1^{2023}=1\).
Như vậy \(T=1\)
NN
16 tháng 10 2020
Bài 2 :
\(x^2+xy-2013x-2014y-2015=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+xy-2014x-2014y+x-2014-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy\right)-\left(2014x+2014y\right)+\left(x-2014\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)-2014\left(x+y\right)+\left(x-2014\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)\left(x+y\right)+\left(x-2014\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)\left(x+y+1\right)=1\)
Vì x, y là số nguyên dương \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2014\inℤ\\x+y+1\inℤ\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x-2014\)và \(x+y+1\)là ước của 1
Lập bảng giá trị ta có:
| \(x-2014\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(x+y+1\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(x\) | \(2013\) | \(2015\) |
| \(y\) | \(-2015\) | \(-2015\) |
Vậy các cặp giá trị \(\left(x;y\right)\)thỏa mãn đề bài là \(\left(2013;-2015\right)\)hoặc \(\left(2015;-2015\right)\)