a) Cho đường tròn tâm O bán kính R. Hai dây AB và CD bằng nhau và vuông gócvới nhau tại I. Chứng minh rằng \(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\) không đổi.b) Trong đường tròn tâm O vẽ dây cung AD không đi qua O. Đường kính vuônggóc với OA cắt tiếp tuyến tại D của (O) tại điểm C. Chứng minh rằng phân giác của gócDCO song song với đường trung trực của AD
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho đường tròn tâm O và 2 dây cung vuông góc AB và CD tại I. Chứng minh:
\(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=4R^2\)
Kẻ đường kính BE \(\Rightarrow\widehat{BAE}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow AE||CD\) (cùng vuông góc AB)
\(\Rightarrow AD=CE\) (hai cung chắn bởi 2 đường thẳng song song)
Do đó:
\(IA^2+ID^2+IB^2+IC^2=AD^2+BC^2\) (Pitago 2 tam giác vuông)
\(=CE^2+BC^2=BE^2\) (tam giác BCE vuông tại E)
\(=4R^2\) (đpcm)
a) ^EAB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^EAB = 900 hay AE⊥AB
Có AE⊥AB (cmt) và CD⊥AB (gt) nên AE//CD => Cung AC bằng cung DE hay AC = DE (đpcm)
b) ∆AIC và ∆BID vuông tại I nên IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = (IA2 + IC2) + (IB2 + ID2) = AC2 + BD2 = ED2 + BD2 = BE2 (∆EDB có ^EDB = 900 do nó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà BE2 = (2R)2 = 4R2 nên IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = 4R2 (đpcm)
a) ^EAB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^EAB = 900 hay AE⊥AB
Có AE⊥AB (cmt) và CD⊥AB (gt) nên AE//CD => Cung AC bằng cung DE hay AC = DE (đpcm)
b) ∆AIC và ∆BID vuông tại I nên IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = (IA2 + IC2) + (IB2 + ID2) = AC2 + BD2 = ED2 + BD2 = BE2 (∆EDB có ^EDB = 900 do nó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà BE2 = (2R)2 = 4R2 nên IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = 4R2 (đpcm)
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
=>ΔACB vuông tại C
ΔOCD cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của CD
=>IC=ID=CD/2=8cm
Xét ΔCAB vuông tại C cso CI là đường cao
nên CI^2=IA*IB
=>8^2=6*IB
=>IB=64/6=32/3(cm)
AB=IB+IA=32/3+6=50/3(cm)
=>R=50/3:2=25/3(cm)
Gọi OH,OK là khoảng cách từ O đến mỗi dây
Ta có: OH = OK = 1cm
Tính được R = 10 cm
a: góc BEC=góc BFC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
=>góc AFE=góc ACB
b: Xét ΔABD và ΔANC có
góc ABD=góc ANC
góc BAD=góc NAC
=>ΔABD đồng dạng với ΔANC
=>AB/AN=BD/NC
=>AB*NC=AN*BD
a:
I nằm giữa O và A
=>OI+IA=OA
=>OI=OA-AI
=R-R'
=>(O) với (I) tiếp xúc nhau tại A
b: ΔIAD cân tại I
=>góc IAD=góc IDA
=>góc IDA=góc OAC
ΔOAC cân tại O
=>góc OAC=góc OCA
=>góc IDA=góc OCA
mà hai góc này đồng vị
nên ID//OC
c: Xét (I) có
ΔADO nội tiếp
AO là đường kính
=>ΔADO vuông tại D
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó; ΔACB vuông tại C
Xét ΔACB vuông tại C có cos CAB=AC/AB=1/2*căn 3
=>góc CAB=30 độ
CB=căn AB^2-AC^2=R/2
\(S_{CAB}=\dfrac{1}{2}\cdot CA\cdot CB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}R=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}\)
Xét ΔADO vuông tại D và ΔACB vuông tại C có
góc DAO chung
Do đó: ΔADO đồng dạng với ΔACB
=>\(\dfrac{S_{ADO}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AO}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{1}{4}\right)\)
=>\(S_{ODCB}=\dfrac{3}{4}\cdot S_{ACB}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}=\dfrac{3\cdot\sqrt{3}\cdot R^2}{32}\)
a) Ta có :
\(AC^2+BD^2=MA^2+MC^2+MB^2+MD^2\)
\(=\left(MA^2+MD^2\right)+\left(MB^2+MC^2\right)=AD^2+BC^2\)
Kẻ đường kính CE ta có \(\widehat{CDE}=90^0\) hay \(CD\perp DE\)
\(\Rightarrow DE//AB\)nên tứ giác ABED là hình thang cân
\(\Rightarrow AD=BE\)
Ta có : \(AD^2+BC^2=BE^2+BC^2=CE^2=4R^2\)không đổi
b ) \(IB=IC=IM\)nên \(IO^2+IM^2=OC^2-IM^2+IM^2=R^2\)
Gọi J là trung điểm của MO . Áp dụng công thức đường trung tuyến trong \(\Delta IMO\)
Ta có : \(IJ=\sqrt{\frac{IO^2+IM^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}=\sqrt{\frac{R^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}\)( không đổi vì O,M cố định )
Do đó I chạy trên đường tròn tâm J bán kính IJ không đổi.
Chúc bạn học tốt !!!