Chứng minh với a, b lớn hơn 0 thì: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\). Áp dụng tìm GTNN của: \(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) biết x+y=1 và x, y dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 1 2021
Có: A=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) =\(\dfrac{x+y}{xy}\) =\(\dfrac{1}{xy}\) ( do x+y=1)
Áp dụng bđt \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ,dâú bằng xảy ra khi a=b, ta có:
A=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) =\(\dfrac{1}{xy}\) ≥ \(\dfrac{2}{x+y}\) =\(\dfrac{2}{1}\) =2 ( x+y=1)
dấu bằng xảy ra khi x=y=0,5.
c/m bđt \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ⇔ a+b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)
⇔(a+b)2 ≥ 4ab
⇔a2 +b2 +2ab≥ 4ab
⇔(a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng)
dấu bằng xảy ra khi a=b.
23 tháng 1 2021
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(\circledast\right)\\ \Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Vậy BĐT (*) được chứng minh.
\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{xy}\)
__________________________________
\(\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\\ \Rightarrow\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow A=\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)
Vậy GTNN của A = 4
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
24 tháng 1 2021
Ta có : \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Bài tập :
Có : \(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{x}+\dfrac{x+y}{y}=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ( do \(x+y=1\) )
Theo BĐT trên có : \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2.\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\)
Nên \(A\ge2+2=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
23 tháng 1 2021
*Chứng minh bất đẳng thức
Ta có: \(\forall a,b\ge0\) thì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (đpcm)
23 tháng 1 2021
Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b>0\)(đpcm)
23 tháng 1 2021
Ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2021
\(M=3\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{12}{2xy+x^2+y^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{14}{\left(x+y\right)^2}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
2 tháng 3 2021
Áp dụng bđt đã cho ta có \(M=4\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)-\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{16}{2xy+x^2+y^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=14\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
9 tháng 7 2022
Bài 1:
a: \(A=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\)
\(=\dfrac{x+2\sqrt{xy}+y-x-\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\)
\(=\dfrac{\sqrt{xy}}{x-\sqrt{xy}+y}\)
b: \(\sqrt{xy}>=0;x-\sqrt{xy}+y>0\)
Do đó: A>=0
25 tháng 9 2021
\(1,A=5^{n+2}+26\cdot5^n+8^{2n+1}\\ A=5^n\cdot25+26\cdot5^n+8\cdot8^{2n+1}\\ A=51\cdot5^n+8\cdot64^n\)
Ta có \(64:59R5\Rightarrow64^n:59R5\)
Vì vậy \(51\cdot5^n+8\cdot64^n:59R=5^n\cdot51+8\cdot5^n=5^n\left(51+8\right)=5^n\cdot59⋮59\)
Vậy \(A⋮59\)
(\(R\) là dư)
\(2,\\ a,2x\ge0;\left(x+2\right)^2\ge0,\forall x\\ \Leftrightarrow P=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{2x}\ge0\\ P_{min}=0\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)
25 tháng 9 2021
cho hỏi là x=-2 thì x đâu còn \(\ge\) 0 nữa
Ta có : \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (tự cm)
Lại có : \(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}\)
Áp dụng BĐT trên ta có : : \(xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{x+y}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^2}}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy...