Tìm x, y, z sao cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)biết x< y< z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 9 2016
ở câu hỏi hay có đó mk nhớ là v bạn vô tìm thử xem nếu k có thì bảo mk
LT
14 tháng 9 2016
cái câu hỏi mình viết sai đó
nó là như vậy nè:cho x,y,z>0
cm:1<\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< 2\)
16 tháng 7 2020
Sai đề nhá, đáng lẽ \(0\le x,y,z\le1\)
Ta dễ có:
\(1+y+zx\le x^2+xy+xz\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}\ge\frac{x}{x^2+xy+xz}=\frac{1}{x+y+z}\)
Tương tự:
\(\frac{y}{1+z+xy}\ge\frac{1}{x+y+z};\frac{z}{1+z+yz}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+z+yz}\ge\frac{3}{x+y+z}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
NT
0
20 tháng 8 2015
Có thể giải bài toán bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz sau đây
Bổ đề. Với mọi số thực \(a,b,c\) và các số dương \(x,y,z\) ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}.\) Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(\left(ya^2+xb^2\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2\ge2abxy\) (Đúng).
Áp dụng bất đẳng thức trên hai lần ta được
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\)
Quay trở lại bài toán, ta có
\(A=\frac{\left(1-x\right)^2}{z}+\frac{\left(1-y\right)^2}{x}+\frac{\left(1-z\right)^2}{y}\ge\frac{\left(1-x+1-y+1-z\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(3-x-y-z\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}.\)
Khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) thì \(A=\frac{1}{2}\). Vậy giá trị bé nhất của \(A\) là \(\frac{1}{2}\).
C
1
22 tháng 9 2015
Từ \(y,z\le1\to\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\to yz+1\ge y+z\to\frac{1}{x+1+yz}\le\frac{1}{x+y+z}\to\frac{z}{x+1+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{x}{y+1+xz}\le\frac{x}{x+y+z},\frac{y}{z+1+yx}\le\frac{y}{x+y+z}.\)
Cộng lại ta được \(A\le\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\le\frac{3}{x+y+z},\) do \(x,y,z\le1.\)