Cho phương trình
m
-
1
log
1
2
2
x
-
2
2
+
4
m
-
5
log
1
2
1
x
-
2
+
4
m
-
4
=
0
(với m là tham số). Gọi
S
=
a
,
b
là tập hợp các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn
5
2
;
4
. Tính
a
+
b
...
Đọc tiếp
Cho phương trình m - 1 log 1 2 2 x - 2 2 + 4 m - 5 log 1 2 1 x - 2 + 4 m - 4 = 0 (với m là tham số). Gọi S = a , b là tập hợp các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn 5 2 ; 4 . Tính a + b
A. 7 3
B. - 2 3
C. - 3
D. 1034 237
Đáp án B.
Với x ∈ 5 2 ; 4 thì phương trình tương đương với:
m - 1 log x 2 x - 2 + m - 5 log 2 x - 2 + m - 1 = 0 (1)
Đặt log 2 x - 2 = t . Với x ∈ 5 2 ; 4 thì t ∈ - 1 ; 1 . Phương trình (1) trở thành:
m - 1 t 2 + m - 5 + m - 1 = 0 ⇔ m t 2 + t + 1 = t 2 + 5 t + 1 ⇔ m = t 2 + 5 t + 1 t 2 + t + 1 (2)
Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 5 t + 1 t 2 + t + 1 = 1 + 4 t t 2 + t + 1 trên đoạn - 1 ; 1 .
Đạo hàm f ' ( t ) = - 4 t 2 - 1 t 2 + t + 1 2 ≥ 0 , ∀ t ∈ - 1 ; 1 ; f ' ( t ) = 0 ⇔ t = ± 1 . Khi đó hàm số [-1;1] đồng biến trên [-1;1]. Suy ra m i n [ - 1 ; 1 ] f ( t ) = f ( - 1 ) = - 3 m a x [ - 1 ; 1 ] f ( t ) = f ( 1 ) = 7 3 .
Phương trình (2) có nghiệm ⇔ Đường thẳng y - m cắt đồ thị hàm số
f ( t ) ⇔ - 3 ≤ m ≤ 7 3 . Vậy S = - 3 ; 7 3 → a = - 3 b , b = 7 3 → a = - 3 , b = 7 3 → a + b = - 3 + 7 3 = - 2 3 .