Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và thỏa mãn $2f\left(x\right)+3f(-x)=\frac{1}{4+x^2}$. Tính tích phân $I={\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$.

A.  $I=\frac{\mathrm{\pi }}{10}$

B.  $I=-\frac{\mathrm{\pi }}{10}$

C.  $I=\frac{\mathrm{\pi }}{20}$

D.  $I=-\frac{\mathrm{\pi }}{20}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C.

Lấy tích phân hai vế của biểu thức 2 f ( x ) + 3 f - x = 1 4 + x 2 , ta được

2 ∫ - 2 2 f ( x ) d x + 3 ∫ - 2 2 f ( - x ) d x = ∫ - 2 2 1 4 + x 2 d x ⇔ 2 I + 3 ∫ - 2 2 f ( - x ) d x = π 4

Xét J = ∫ - 2 2 f ( - x ) d x . Đặt t = - x ⇒ d t = - d x . Đổi cận: x = - 2 → t = 2 x = 2 → t = - 2  

Suy ra J = - ∫ 2 - 2 f ( t ) d t = ∫ - 2 2 f ( t ) d t = ∫ - 2 2 f ( x ) d x = I .

Vậy 2 I + 3 ∫ - 2 2 f ( x ) d x = π 4 ⇔ 2 I + 3 I = π 4 ⇔ I = π 20 .