Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60 ° . Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Thể tích khối chóp S.ABMN là
A. a 3 3 2
B. a 3 3 4
C. a 3 3 3
D. a 3 3
Đáp án A
Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và AG cắt SC tại M =>M là trung điểm của SC, tương tự N là trung điểm của SD. Do đó, mp (P) cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác ABMN.
Ta có
V S . A M N V S . A C D = S M S C . S N S D = 1 4 ; V S . A B M V S . A B C = 1 2 ⇒ V S . A B M N V S . A B C D = 3 8 .
Suy ra
V S . A B M N = 3 8 . 1 3 . S O . S A B C D = a 8 . tan 60 ∘ . 2 a 2 = a 3 3 2 .