Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có A B → , A D → , A A ' → theo thứ tự cùng hướng với i → , j → , k → và có AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính tọa độ các vecto A B → , A C → , A C ' → v à A M → với M là trung điểm của cạnh C’D’.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn C
Ta chia khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ thành các hình chóp có thể tích:
a. Từ giả thiết ta có :
\(C\left(a;a;0\right);C'\left(a;a;b\right);D'\left(0;a;b\right);B'\left(a;0;b\right)\)
Vì M là trung điểm của CC' nên \(M=\left(a;a;\frac{b}{2}\right)\)
Ta có :
\(\overrightarrow{BD}=\left(-a;a;0\right)\)
\(\overrightarrow{BA}=\left(-a;0;b\right)\)
\(\overrightarrow{BM}=\left(0;a;\frac{b}{2}\right)\)
Vì thế \(\left[\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA'}\right]=\left(\left|\begin{matrix}a&0\\0&b\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&-a\\b&-a\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-a&a\\-a&0\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(ab,ab,a^2\right)\)
Vậy \(V_{BDa'M}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA'}\right].\overrightarrow{BM}\right|=\frac{1}{6}\left|a^2b+\frac{a^2b}{2}\right|=\frac{a^2b}{4}\)
b. Gọi K là trung điểm của BD. Do \(A'B=A'D\Rightarrow A'K\perp BD\)
Lại có \(MB=MD\Rightarrow MK\perp BD\)
Vậy \(\widehat{A'KM}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A'K}.\overrightarrow{MK}=0\)
Ta có :
\(K=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)\) do đó :
\(\overrightarrow{A'K}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-b\right)\)
\(\overrightarrow{MK}=\left(-\frac{a}{2};\frac{-a}{2};\frac{-b}{2}\right)\)
Vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow-\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow b^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=1\)
Do (a>0,b>0) vì thế \(\left(A'BD\right)\perp\left(MBD\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}=1\)
Đáp án là C.
+ Tìm được M m ; m ; n 2 .
+ Ta có:
B M → = 0 ; m ; n 2 ; B D → = − m ; m ; 0 ; B A ' → = − m ; 0 ; n
B M → ; B D → = − m n 2 ; − m n 2 ; m 2 ; B M → ; B D → B A ' → = 3 2 m 2 n
V B M D A ' = 1 6 B M → ; B D → B A ' → = 1 4 m 2 n
mà n = 4 − m ⇒ V B M D A ' = − 1 4 m 3 + m 2 = f m
+ f ' m = − 3 4 m 2 + 2 m = 0 ⇔ m = 0 l o a i m = 8 3 ⇒ f m = 64 27