Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P,Q, R theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
-Xét △OAB có: P trung điểm OA, Q trung điểm OB (gt)
\(\Rightarrow\)PQ là đường trung bình của △OAB.
\(\Rightarrow\)PQ=\(\dfrac{1}{2}\)AB.
\(\Rightarrow\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{AB}=\dfrac{1}{2}\)
-Xét △OAC có: P trung điểm OA, R trung điểm OC (gt)
\(\Rightarrow\)PR là đường trung bình của △OAC.
\(\Rightarrow\)PR=\(\dfrac{1}{2}\)AC.
\(\Rightarrow\dfrac{PR}{AC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{AC}=\dfrac{1}{2}\)
-Xét △OBC có: R trung điểm OC, Q trung điểm OB (gt)
\(\Rightarrow\)RQ là đường trung bình của △OBC.
\(\Rightarrow\)RQ=\(\dfrac{1}{2}\)BC.
\(\Rightarrow\dfrac{RQ}{BC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
-Xét △PQR và △ABC có: \(\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{PR}{AC}=\dfrac{QR}{BC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\)△PQR ∼ △ABC (c-c-c)
* Trong △ AOB ta có:
P trung điểm của OA (gt)
Q trung điếm của OB (gt)
Suy ra PQ là đường trung bình của △ AOB
Suy ra: PQ = 1/2 AB (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: (1)
* Trong △ OAC, ta có:
P trung điểm của OA (gt)
R trung điểm của OC (gt)
Suy ra PR là đường trung bình của tam giác OAC.
Suy ra: PR =1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: (2)
* Trong △ OBC, ta có:
Q trung điểm của OB (gt)
R trung điểm của OC (gt)
Suy ra QR là đường trung bình của tam giác OBC
Suy ra: QR = 1/2 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Vậy △ PQR đồng dạng △ ABC (c.c.c)
Theo giả thiết D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA nên DE, EF, FD là các đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có:
DE = 1/2 AC,EF = 1/2 AB,FD = 1/2 BC (1)
Mặt khác, M là trung điểm của OA, P là trung điểm của OB, Q là trung điểm của OC, xét các tam giác OAB, OBC, OCA, ta cũng có:
MP = 1/2 AB,PQ = 1/2 BC, QM = 1/2 AC. (2)
Từ đẳng thức (1) và (2), ta suy ra :
DE = QM, EF = MP, FD = PQ.
Do đó ta có:
Vậy △ DEF đồng dạng △ QMP theo tỉ số đồng dạng k = 1, trong đó D, E, F lần lượt tương ứng với các đỉnh Q, M, P.
Trong △ OAB, ta có PQ là đường trung bình nên: PQ =1/2 AB (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: (1)
Trong △ OAC, ta có PR là đường trung bình nên:
PR = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: (2)
Trong △ OBC, ta có QR là đường trung bình nên
QR = 1/2 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra:
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Vậy △ PQR đồng dạng △ ABC (c.c.c)