cho a>=b>=c>0 Cm \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
13 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz, ta được:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{b+c+a+c+a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)
T
15 tháng 9 2019
ミ★长 - ƔξŦ★彡vãi cả cauchy-schwarz cho bậc 3: \("\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{b+c+c+a+a+b}\)
Thiết nghĩ nên sửa đề \(a,b,c>0\) thôi chứ là gì có d? Mà nếu a >b >c > d > 0 thì liệu dấu = có xảy ra?
Áp dụng BĐT Cauchy-Scwarz ta có: \(LHS\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)
IN
3
LM
4 tháng 12 2017
Ta có: \(VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ca}+\frac{c^2}{ca+cb}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
KN
15 tháng 6 2020
Đặt \(f\left(a,b,c\right)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)và \(t=\frac{a+b}{2}\)
Khi đó thì \(f\left(t,t,c\right)=\frac{t}{t+c}+\frac{t}{t+c}+\frac{c}{2t}=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}\)
Ta có: \(f\left(a,b,c\right)=\frac{\left(a^2+b^2\right)+c\left(a+b\right)}{c^2+ab+c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{4\left(a^2+b^2\right)+4c\left(a+b\right)}{4c^2+4ab+4c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)
\(\ge\frac{2\left(a+b\right)^2+4c\left(a+b\right)}{4c^2+\left(a+b\right)^2+4c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{8t^2+8tc}{4c^2+4t^2+8tc}+\frac{c}{2t}\)
\(=\frac{2t^2+2tc}{c^2+t^2+2tc}+\frac{c}{2t}=\frac{2t\left(t+c\right)}{\left(t+c\right)^2}+\frac{c}{2t}\)\(=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}=f\left(t,t,c\right)\)
Do đó \(f\left(a,b,c\right)\ge f\left(t,t,c\right)\)
Ta cần chứng minh: \(f\left(t,t,c\right)=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(t-c\right)^2}{2t\left(t+c\right)}\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
2 tháng 9 2019
Cần sửa đề : cho \(a\ge b\ge c>0\).
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(VT=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ca+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{2\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
LD
2 tháng 9 2019
\(\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ac+bc}\)>=\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}>=\frac{ac+bc+ac}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)=1/2
NB
1
10 tháng 8 2017
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{ca^2}{c^2+a^2}\)
\(\ge a-\frac{ab^2}{2ab}+b-\frac{bc^2}{2bc}+c-\frac{ca^2}{2ca}=a-\frac{b}{2}+b-\frac{c}{2}+c-\frac{a}{2}=\frac{a+b+c}{2}\)
PT
1
https://olm.vn/hoi-dap/detail/263385033080.html . Tham khảo Inequalities.