Bài 71. Cho x , y , z khác 0 và x + y + z \(\ne\)0 . Chứng minh rằng :
Nếu \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) thì \(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\) .
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MN
13 tháng 5 2018
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) (do x+y+z = 2015)
\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
đến đây tự lm nốt nha
28 tháng 10 2016
Từ giả thiết ta có ngay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
Suy ra x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Tới đây bạn tự làm nhé :)
30 tháng 9 2016
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
9 tháng 1 2018
Ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
Khi đó ta chứng minh được :
\(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)
Mà \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Từ đó ta suy ra :
\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}\)
\(=\frac{\left(3xyz\right)^2-2.3.x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=xyz\)( ĐPCM )
Hên xui thôi
MA
7 tháng 4 2019
1/y+1/x+1/z=0
=>xy+yz+xz=0(tự cm)
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=x^2+y^2+z^2=0
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+3xyz=3xyz
x^6+y^6+z^6=(x^2+y^2+z^2)(X^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2z^2)+3(xyz)^2=3(xyz)^2
=> (x^6+y^6+z^6)/(x^3+y^3+z^3)=3(Xyz)^2/3xyz=xyz(dpcm)
N
7 tháng 4 2019
:D???? ể??
\(x+y+z=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-y-z\\y=-z-x\\z=-x-y\end{cases}}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
\(\hept{\begin{cases}xy=\left(-y-z\right).y=-y^2-zy\\yz=\left(-x-z\right).z=-z^2-xz\\xz=\left(-y-x\right).x=-x^2-xy\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+zx=-\left(x^2+y^2+z^2+xz+xy+zy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0??????\)
p/s: ko biết t lỗi hay đề lỗi ((:
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+xy^2\right)+\left(yz^2+z^2x\right)+\left(zx^2+2xyz+y^2z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+z^2+yz+zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x = -y hoặc y = -z hoặc z = -x
Không mất tổng quát giả sử x = -y, khi đó:
\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{-y^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)