Question

[Nguyễn Phi Hoàng An]

Tìm số tự nhiên n sao cho:

5+6+7+...+ (n+1)= 105n+95

Answer 1

[Xyz OLM]

Ta có : 5 + 6 + 7 + ... + (n + 1) = 105n + 95

=> [(n + 1 - 5) : 1 + 1].(n + 1 + 5) : 2 = 105n + 95

=> (n - 3)(n + 6) = 210n + 190

=> n² + 3n - 18 = 210n +  190

=> n² - 207n - 208 = 0

=> n² - 208n + n - 208 = 0

=> n(n - 208)  + (n - 208) = 0

=> (n + 1)(n - 208) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}n+1=0\\n-208=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=-1\left(\text{loại}\right)\\n=208\end{cases}}\)

Vậy n = 208

Answer 2

[╰Nguyễn Trí Nghĩa (team toán học)ッ...]

5+6+7+.......................+(n+1)=105n+95

Có số số hạng là:[(n+1)-5]:1+1=(n+1-5):1+1

                                                =(n-4):1+1

                                                 =n-4+1

                                                 =n-3

+)Tổng của dãy trên là:

[5+(n+1)].(n-3):2=105n+95

(5+n+1).(n-3):2=105n+95

(n+6).(n-3):2=105n+95

\(\left(n+6\right).\left(n-3\right)=2.\left(105n+95\right)\)

\(\left(n+6\right).\left(n-3\right)=210n+190\)

\(\left(n^2+6n\right)-\left(3n+18\right)=210n+190\)

\(n^2+6n-3n+18=210n+190\)

\(n^2+3n+18=210n+190\)

\(\Leftrightarrow n^2+3n+18-210n-190=0\)

\(\Leftrightarrow n^2+\left(3n-210n\right)-\left(18+190\right)=0\)

\(\Leftrightarrow n^2-207n-208=0\)

\(\Leftrightarrow n^2-207n+n-n-208=0\)

\(\Leftrightarrow n^2-208n-n-208=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2-208n\right)+\left(n-208\right)=0\)

\(\Leftrightarrow n.\left(n-208\right)+\left(n-208\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right).\left(n-208\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)n+1=0 hoặc n-208=0

=>n        =0-1          n      =0+208 

=>n       =-1              n      =208

Mà n là số tự nhiên

=>n=208

Chúc bạn học tốt