Question

[Bùi Phúc Hoàng Linh]

Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất-giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

G=\(|x-4|+|x+6|\)

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

\(G=\left|x-4\right|+\left|x+6\right|\)

\(G=\left|x-4\right|+\left|-\left(x+6\right)\right|\)

\(G=\left|x-4\right|+\left|-6-x\right|\)

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)ta có :

\(G=\left|x-4\right|+\left|-6-x\right|\ge\left|x-4-6-x\right|=\left|-10\right|=10\)

Đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0\)

=> \(\left(x-4\right)\left(-6-x\right)\ge0\)

Xét hai trường hợp :

1/ \(\hept{\begin{cases}x-4\ge0\\-6-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge4\\-x\ge6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge4\\x\le-6\end{cases}}\)( loại )

2/ \(\hept{\begin{cases}x-4\le0\\-6-x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le4\\-x\le6\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\le4\\x\ge-6\end{cases}}\Rightarrow-6\le x\le4\)

=> G_Min = 10 , đạt được khi \(-6\le x\le4\)

Answer 2

[Phan Nghĩa]

\(G=|x-4|+|x+6|=|-\left(x-4\right)|+|x+6|\)

\(=|-x+4|+|x+6|=|4-x|+|x+6|\)

Sử dụng bất đẳng thức \(|a|+|b|\ge|a+b|\)ta có :

\(|4-x|+|x+6|\ge|4-x+x+6|=|10|=10\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left(4-x\right)\left(x+6\right)\ge0\Leftrightarrow-6\le x\le4\)