Question

[Cậu Nhỏ]

Cho hình bình hành ABCD, phân giác góc A cắt phân giác góc B, D tại P, Q.

a. Chứng minh PB // DQ và AP vuông góc BP, AQ vuông góc DQ.

b. Phân giác góc C cắt BP, DQ tại N, M. Tứ giác MNPQ là hình gì, vì sao?

c. Chứng minh MP // AD; NQ // AB d. Chứng minh AC, BD, MP, NQ đồng quy

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Ta có: DA//BC(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)

\(\Leftrightarrow\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà \(\widehat{DAB}=2\cdot\widehat{BAP}\)(AP là tia phân giác của \(\widehat{DAB}\))

và \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ABP}\)(BP là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

nên \(2\cdot\widehat{BAP}+2\cdot\widehat{ABP}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{BAP}+\widehat{ABP}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAP}+\widehat{ABP}=90^0\)

Xét ΔAPB có \(\widehat{BAP}+\widehat{ABP}=90^0\)(cmt)

nên ΔAPB vuông tại P(định lí tam giác vuông)

⇒AP⊥BP

Ta có: AB//CD(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà \(\widehat{BAD}=2\cdot\widehat{DAQ}\)(AQ là tia phân giác của \(\widehat{BAD}\))

và \(\widehat{ADC}=2\cdot\widehat{ADQ}\)(DQ là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\))

nên \(2\cdot\widehat{DAQ}+2\cdot\widehat{ADQ}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{DAQ}+\widehat{ADQ}\right)=180^0\)

hay \(\widehat{DAQ}+\widehat{ADQ}=90^0\)

Xét ΔADQ có \(\widehat{DAQ}+\widehat{ADQ}=90^0\)(cmt)

nên ΔADQ vuông tại Q(định lí tam giác vuông)

⇒AQ⊥DQ

hay AP⊥DQ

Ta có: AP⊥DQ(cmt)

AP⊥PB(cmt)

Do đó: PB//DQ(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

b) Ta có: AB//CD(hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180^0\)(hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{CBN}\)(BN là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

và \(\widehat{BCD}=2\cdot\widehat{BCN}\)(CN là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\))

nên \(2\cdot\widehat{CBN}+2\cdot\widehat{BCN}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{CBN}+\widehat{BCN}\right)=180^0\)

hay \(\widehat{CBN}+\widehat{BCN}=90^0\)

Xét ΔBCN có \(\widehat{CBN}+\widehat{BCN}=90^0\)(cmt)

nên ΔBCN vuông tại N(định lí tam giác vuông)

⇒BN⊥CN

⇒BP⊥MN

Ta có: BP⊥AP(cmt)

BP⊥MN(cmt)

Do đó: AP//MN(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

hay QP//MN(Q∈AP)

Ta có: PB//DQ(cmt)

nên PN//QM(N∈PB và M∈DQ)

Xét tứ giác MNPQ có PN//QM(cmt) và QP//MN(cmt)

nên MNPQ là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành MNPQ có \(\widehat{QPN}=90^0\)(QP⊥PN)

nên MNPQ là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)