Cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(3\left(x+y+z\right)+4\le\frac{27}{4}xyz\) Tìm min P = x+y+z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 10 2020
Ta có:
\(H=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{x^2}}{x\left(y+z\right)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y\left(z+x\right)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2}{xy+zx}+\frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2}{yz+xy}+\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^2}{zx+yz}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta được:
\(H\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1
Vậy Min(H) = 3/2 khi x = y = z = 1
TA
1 tháng 8 2017
2. Xem tại đây
1. \(P=\frac{1}{\sqrt{x.1}}+\frac{1}{\sqrt{y.1}}+\frac{1}{\sqrt{z.1}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{x+1}{2}}+\frac{1}{\frac{y+1}{2}}+\frac{1}{\frac{z+1}{2}}\)
\(=\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{18}{3+3}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
L
1 tháng 8 2017
1 ) có cách theo cosi đó
áp dụng cosi cho 3 số dương ta có \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}\times\frac{1}{\sqrt{x}}\times x}=3\sqrt[3]{1}=3\)(1)
\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+y\ge3\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+z\ge3\)(3)
cộng các vế của (1),(2),(3), đc \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)+\left(x+y+z\right)\ge9\Rightarrow2P+3\ge9\Rightarrow P\ge3\)
minP=3 khi x=y=z=1
\(3\left(x+y+z\right)+4\le\frac{27}{4}xyz\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)^3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z-4\right)\left(x+y+z+2\right)^2\ge0\)