Cho tam giác A B C nội tiếp đường tròn (O), A D là đường phân giác trong của tam giác ABC ( D thuộc BC). Chứng minh rằng: DB. DC = AB. AC - AD2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 6 2020
a) Xét t/giác HBA và t/giác ABC
có: \(\widehat{B}\):chung
\(\widehat{BHA}=\widehat{A}=90^0\)(gt)
=> t/giác HBA đồng dạng t/giác ABC (g.g)
b) Xét t/giác ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pi - ta - go)
=> AC2 = BC2 - AB2 = 102 - 62 = 64
=> AC = 8 (cm)
Ta có: t/giác HBA đồng dạng t/giác ABC
=> HB/AB = AH/AC = AB/BC
hay HB/6 = AH/8 = 6/10 = 3/5
=> \(\hept{\begin{cases}HB=\frac{3}{5}.6=3,6\left(cm\right)\\AH=\frac{3}{5}.8=4,8\left(cm\right)\end{cases}}\)
c) Xét tứ giác AIHK có \(\widehat{A}=\widehat{AKH}=\widehat{AIH}=90^0\)
=> AIHK là HCN => \(\widehat{AIK}=\widehat{AHK}\)(cùng = \(\widehat{IKH}\)) (1)
Ta có: \(\widehat{AHK}+\widehat{KHC}=90^0\)(phụ nhau)
\(\widehat{KHC}+\widehat{C}=90^0\)(phụ nhau)
=> \(\widehat{AHK}=\widehat{C}\) (2)
Từ (1) và )2) => \(\widehat{AIK}=\widehat{C}\)
Xét t/giác AKI và t/giác ABC
có: \(\widehat{A}=90^0\): chung
\(\widehat{AIK}=\widehat{C}\)(cmt)
=> t/giác AKI đồng dạng t/giác ABC
=> AI/AC = AK/AB => AI.AB = AK.AC
d) Do AD là đường p/giác của t/giác ABC => \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{BC-DC}{DC}=\frac{BC}{DC}-1\)
<=> \(\frac{10}{DC}-1=\frac{6}{8}\) <=> \(\frac{10}{DC}=\frac{7}{4}\) <=> \(DC=\frac{40}{7}\)(cm)
=> BD = 10 - 40/7 = 30/7 (cm)
DE là đường p/giác của t/giác ABD => \(\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EB}\)(t/c đg p/giác)
DF là đường p/giác của t/giác ADC => \(\frac{DC}{AD}=\frac{FC}{AF}\)
Khi đó: \(\frac{EA}{EB}\cdot\frac{DB}{DC}\cdot\frac{FC}{FA}=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{AB}{AC}\cdot\frac{DC}{AD}=\frac{AB\cdot DC}{BD.AC}=\frac{6\cdot\frac{40}{7}}{8\cdot\frac{30}{7}}=1\) (ĐPCM)
23 tháng 1 2020
1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~
Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))
\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)
Ta lại có: \(BD\perp HK\)
\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)
\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)
Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))
Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)
\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)
(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )
CM
16 tháng 12 2018
a, HS tự chứng minh
b, ∆ADE:∆ACD (g.g)
=> A D 2 = A E . A C
c, Tương tự: ∆ADF:∆ABD => A D 2 = A B . A F => ĐPCM
CM
8 tháng 3 2019
1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do H E ∥ B C ⊥ H A ), nên tứ giác APEH nội tiếp.
Ta có A P H ^ = A E H ^ (góc nội tiếp)
= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)
⇒ P H ≡ P B
2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^
Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF
Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF
Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.
Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B
Tương tự F I ∥ H C ; E F ∥ B C ⇒ Δ I E F v à Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.
14 tháng 1 2019
a) +) Ta có: IB, IK là 2 tiếp tuyến kẻ từ I
=> IO là tia phân giác \(\widehat{BIK}\)=->\(\widehat{BIO}=\frac{1}{2}\widehat{KIB}\)(1)
Tương tự: \(\widehat{IBO}=\frac{1}{2}\widehat{IBC}\)(2)
+) ND cùng vuông góc với IK và BC
=> IK//BC
=> \(\widehat{KIB}+\widehat{IBC}=180^o\)(3)
Từ (1), (2), (3)
=> \(\widehat{IBO}+\widehat{BIO}=90^o\)=> \(\widehat{IBO}=90^o\)
+) Xét 2 tam giác vuông INO và ODB có:
\(\widehat{ION}=\widehat{OBD}\)( cùng phụ với góc BOD)
=> \(\Delta INO~\Delta ODB\)
=> \(\frac{IN}{OD}=\frac{ON}{BD}\)=> \(IN.BD=R^2\)( với R là bán kính đường tròn (O)) (4)
Tương tự ta cũng chứng minh được: \(NK.DC=R^2\)(5)
(4), (5)=> \(IN.BD=NK.DC\Rightarrow\frac{IN}{NK}=\frac{DC}{BD}\)(6)
b) IK//BC. Theo định lí Thaslet ta có:
\(\frac{IN}{BE}=\frac{NK}{EC}\left(=\frac{AN}{AE}\right)\Rightarrow\frac{IN}{NK}=\frac{BE}{EC}\)(7)
(6),(7)=> \(\frac{DC}{DB}=\frac{BE}{EC}\Rightarrow\frac{BC-BD}{DB}=\frac{BC-EC}{CE}\Rightarrow\frac{BC}{BD}-1=\frac{BC}{CE}-1\Rightarrow\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{CE}\Rightarrow BD=CE\)