Question

[Phạm Thị Hằng]

Cho tam giác ABC. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D.Vẽ đường kính DN của đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt AB, AC lần lượt tại I, K.

    a) Chứng minh rằng \(\frac{NI}{NK}=\frac{DC}{DB}\) .

    b) Gọi F là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng BD = CF.

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

a) +) Ta có: IB, IK là 2 tiếp tuyến kẻ từ I

=> IO là tia phân giác \(\widehat{BIK}\)=->\(\widehat{BIO}=\frac{1}{2}\widehat{KIB}\)(1)

Tương tự: \(\widehat{IBO}=\frac{1}{2}\widehat{IBC}\)(2)

+) ND cùng vuông góc với IK và BC 

=> IK//BC

=> \(\widehat{KIB}+\widehat{IBC}=180^o\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\widehat{IBO}+\widehat{BIO}=90^o\)=> \(\widehat{IBO}=90^o\)

+) Xét 2 tam giác vuông INO và ODB có:

\(\widehat{ION}=\widehat{OBD}\)( cùng phụ với góc BOD)

=> \(\Delta INO~\Delta ODB\)

=> \(\frac{IN}{OD}=\frac{ON}{BD}\)=> \(IN.BD=R^2\)( với R là bán kính đường tròn (O)) (4)

Tương tự ta cũng chứng minh được: \(NK.DC=R^2\)(5)

(4), (5)=> \(IN.BD=NK.DC\Rightarrow\frac{IN}{NK}=\frac{DC}{BD}\)(6)

b) IK//BC. Theo định lí Thaslet ta có:

\(\frac{IN}{BE}=\frac{NK}{EC}\left(=\frac{AN}{AE}\right)\Rightarrow\frac{IN}{NK}=\frac{BE}{EC}\)(7)

(6),(7)=> \(\frac{DC}{DB}=\frac{BE}{EC}\Rightarrow\frac{BC-BD}{DB}=\frac{BC-EC}{CE}\Rightarrow\frac{BC}{BD}-1=\frac{BC}{CE}-1\Rightarrow\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{CE}\Rightarrow BD=CE\)