Bài 1: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy yz xz > 0, chứng minh rằng: $2\sqrt{\frac{x}{y z}} 2\sqrt{\frac{y}{z x}} 3\sqrt[3]{\frac{z}{x y}}\ge5$Bài 2: Với x, y, z là các số thực khô...

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020 - olm

Bài 1: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, chứng minh rằng: $2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge5$Bài 2: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, z = max {x, y, z), chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge4$Bài 3:Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0 và x + y + z = 2,chứng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

Bài 3 thì $\le1$

Bài 4 thì $\ge\frac{3}{4}$ nhé

Đúng(0)

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

Bài 1: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, chứng minh rằng: $2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge5$ Bài 2: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, z = max {x, y, z), chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge4$ Bài 3: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0 và x + y + z = 2,chứng minh rằng:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

2

DH

Diệu Huyền

16 tháng 5 2020

Sửa lại cái đề hộ: a,b,c là số thực dương nha :v (Bài 4) ý

Đúng(0)

LT

Lê Trường Lân

23 tháng 5 2020

Bắn giúp mình mấy câu kia vs. PLS!!!

Đúng(0)

DK

Đặng Kim Anh

5 tháng 2 2020 - olm

Cho 3 số thực dương x , y , z thỏa mãn $x+y+z\ge3$

Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}$

#Toán lớp 9

5

TT

Thanh Tùng DZ

5 tháng 2 2020

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :

$\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}$

Mà $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z$

$\Rightarrow$$\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = $\frac{3}{2}$

Đúng(0)

TT

Thanh Tùng DZ

5 tháng 2 2020

nhầm sửa x = y = z = 1 nha

Đúng(0)

D

Dương

12 tháng 3 2021 - olm

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + xz = 1. Chứng minh

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3$

#Toán lớp 9

1

KN

Kiệt Nguyễn

13 tháng 3 2021

Theo giả thiết xy + yz + zx = 1 nên ta có: $VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{1}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{1}{xy+yz+zx+z^2}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}+\frac{1}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^2\le\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right)=\frac{2\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$$\Rightarrow\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\le\frac{4\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)$Ta cần chứng minh: $\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)$

hay $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{3}{2}$

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM - GM do: $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}.\frac{y}{x+y}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}.\frac{z}{z+y}}\le\frac{\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{x+y}\right)+\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)}{2}=\frac{3}{2}$Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(0)

HQ

Hoàng Quốc Tuấn

3 tháng 4 2020 - olm

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1

Chứng minh rằng

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3$

#Toán lớp 9

2

T

truongkhanhlinhbong

3 tháng 4 2020

helloo

Đúng(0)

TP

Trần Phúc Khang

3 tháng 4 2020

Ta có $1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)$

Khi đó BĐT <=>

$\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)$

<=> $\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3$

<=>$\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3$

<=> $\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3$(1)

Xét $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)$

<=> $9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)$

<=> $xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz$

<=> $x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0$luôn đúng

Khi đó (1) <=>

$\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3$

<=> $\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}$

Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có

$\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}$

$=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}$

=> BĐT được CM

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(1)

PH

Phạm Hà Chi

20 tháng 9 2018 - olm

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$

$CMR:\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+xz$

#Toán lớp 9

3

AN

alibaba nguyễn

21 tháng 9 2018

$3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

$\Rightarrow xyz\le1$

$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\frac{x^2+1+1}{3}+\frac{y^2+1+1}{3}+\frac{z^2+1+1}{3}=3$

Ta co:

$A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}$

$\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}$

$\Rightarrow3A\ge3\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\ge\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)$

$\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)$

$\Rightarrow A\ge xy+yz+zx$

Đúng(0)

KN

Kiệt Nguyễn

25 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có: $3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$

$\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3=x^2+y^2+z^2$(Do $x^2+y^2+z^2=3$)

Ta có: $\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz.1}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx.1}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy.1}}$

$\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}+\frac{y}{\frac{z+x+1}{3}}+\frac{z}{\frac{x+y+1}{3}}$$=\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}$

$=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}$$\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}$(Theo BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engle)

$\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2$

$\ge xy+yz+zx$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Đúng(0)

LD

Le Dinh Quan

19 tháng 2 2020 - olm

Cho các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=3 và xy+yz+zx≠0

Chứng minh rằng $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\le\frac{25}{3\sqrt[3]{4xy+yz+zx}}$

#Toán lớp 9

1

T

tth_new

20 tháng 2 2020

Sửa đề VP là $\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}$.

Tham khảo:[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020 - Trang 2 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Đúng(0)

AN

Anh Nguyen Quoc

5 tháng 2 2020 - olm

Câu hỏi hay

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx>=x+y+z

Chứng minh rằng $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1$

#Toán lớp 9

3

PG

Phan Gia Huy

6 tháng 2 2020

Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ

$RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}$

Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì $xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3$

Ta cần chứng minh:$\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}$

Thật vậy,BĐT tương đương với:

$2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0$ ( luôn đúng với $x+y+z\ge3$ )

=> đpcm

Đúng(1)

NL

Nguyễn Linh Chi

6 tháng 2 2020

Áp dụng: $AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}$với mọi A, B

Ta có:

$x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}$

=> $\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}$

=> $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}$

Tương tự

=> $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}$

$\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}$

$=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)$

$\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}$

$=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}$(1)

Ta có: $x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}$ với mọi x, y, z

=> $\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0$

=> $\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0$

=> $x+y+z\ge3$với mọi x, y, z dương

Và $x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)$

Do đó: $\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}$

$\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}$

Đặt: x + y + z = t ( t$\ge3$)

Xét hiệu: $\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0$với mọi t $\ge3$

Do đó: $\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}$(2)

Từ (1); (2)

=> $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1$

Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1

Đúng(0)

CX

cường xo

16 tháng 3 2020 - olm

Cho các số thực dương x,y,z Thỏa mãn : xy + yz + xz = 3

Chứng minh bất đẳng thức :$\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1$

( Lưu ý : đề bài không bị bruh hack )

#Toán lớp 7

1

HF

HD Film

19 tháng 3 2020

$\text{Σ}\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3+8}}=\text{Σ}\frac{x^2}{\sqrt[3]{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}\ge\text{Σ}\frac{x^2}{\frac{x+2+x^2-2x+4}{2}}=\text{2}\left(Σ\frac{x^2}{x^2-x+6}\right)$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:
$VT\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-x-y-z+18}$
Áp dụng BDT: $9=3\left(xy+yz+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2\Rightarrow x+y+z\ge3$

$\Rightarrow VT\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-3+18}=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+15}=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+xz\right)}$
$\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2}=1$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Đúng(1)

TT

Trương Tiền Phương

16 tháng 1 2020 - olm

cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{xy+x+y}}+\frac{1}{\sqrt{yz+y+z}}+\frac{1}{\sqrt{zx+z+x}}\ge$$\sqrt{3}$

#Toán lớp 9

1

N

Nyatmax

16 tháng 1 2020

$VT\ge\frac{9}{\Sigma_{cyc}\sqrt{xy+x+y}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(2x+2y+2z+xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left[6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}}=\sqrt{3}$

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP