cho x + y + z = 6 và xy + yz + xz = 9 CMR (x-1) + (y-2)² + (z-3)^4 < 88
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CF
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2021
Cần thêm điều kiện x;y;z đôi một phân biệt và để dấu "=" xảy ra khi thì x;y;z không âm chứ không phải dương
Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow xy+yz+zx\ge xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{xy+yz+zx}\le\dfrac{4}{xy}\)
Đồng thời:
\(\left(z-x\right)^2=x^2+z\left(z-2x\right)\le x^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)
\(\left(y-z\right)^2=y^2+z\left(z-2y\right)\le y^2\ge\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge2\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)
TG
4
3 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki dạng phân thức : x²/a + y²/b ≥ (x+y)²/(a+b)
Ta có :
3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) = 6/(2xy+2yz+2zx) + 2/(x²+y²+z²)
≥ (√6+√2)²/(x+y+z)² = (√6+√2)² > 14 (đpcm).
3 tháng 9 2017
Cách 2 : Ta đặt xy+yz+zx = t ( t>0 ) thì x²+y²+z² = (x+y+z)² - 2(xy+yz+zx) = 1-2t.
Mặt khác ta lại có: 3(xy+yz+zx) ≤ (x+y+z)² = 1 ⇔ xy+yz+zx ≤ 1/3 hay t ≤ 1/3.
Ta đưa bài toán về việc c/m: 3/t + 2/(1-2t) ≥ 14 với 0 < t ≤ 1/3.
Biến đổi tương đương ta được : 3(1-2t) + 2t ≥ 14t(1-2t)
⇔ 28t² - 18t + 3 ≥ 0
⇔ 3(1-3t)² + t² ≥ 0 (đúng).
Tuy nhiên dấu "=" không xảy ra,
do đó 3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) > 14.
RW
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)
NM
0
29 tháng 5 2019
https://diendantoanhoc.net/topic/167390-cmr-sum-fracx3y38geq-frac19frac227xyyzzx/
bạn tham khảo nhé
Ta có x+y+z=6 => x+y=6-z
xy+yz+zx=9 => xy+z(x+y)=9
=> xy=9-z(x+y)=9-z(6-z)
Ta cũng có: (x+y)2 >= 4xy
<=> (6-z)2 >=4[9-z(6-z)]
<=> 36-12z+z2 >= 4[9-6z+z2]
<=> 36-12z+z2 >= 36-24z+4z2
<=> 3z2-12z =<0
<=> 0 =< x =< 4
Vai trò của x;y;z như nhau nên ta có: 0 =< x,y,z =<4
Từ đó ta có: x-1 =<3
-2 =< y-2 =< 2 => (y-2)2 =<4
-3 =< z-3 =<1 => (z-3)4 =<81
Khi đó (x-1)+(y-2)2+(z-3)4 =< 88
Dấu "=" xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0;y=0;z=0\\x=4;y=4;z=0\end{cases}}\)(ktm điều kiện bài toán)
Vậy (x-1)+(y-2)2+(z-3)4<88
Alo bạn ơi!
Tại sao (x+y)^2 >=4xy vậy?