Chứng minh rằng phương trình : \(m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^{\text{4 }}-3=0\) có ít nhất hai nghiệm \(\forall\)m
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NT
Nguyễn Thành Trương
14 tháng 3 2020
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2021
Xét hàm \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3\)
Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm liên tục trên R
\(f\left(1\right)=-2< 0\)
\(f\left(-2\right)=13>0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)
\(f\left(2\right)=13>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
BC
1
KV
1 tháng 1
Đặt f(x) = m(1 - x)³.(x² - 4) + x⁴ - 3
⇒ f(x) liên tục trên R
Ta có:
f(-2) = m.(1 - 2)³.[(-2)² - 4] + (-2)⁴ - 3
= 0 + 16 - 3
= 15
f(1) = m.(1 - 1)³.(1² - 4) + 1⁴ - 3
= 0 + 1 - 3
= -2
f(2) = m.(1 - 2)³.(2² - 4) + 2⁴ - 3
= 0 + 16 - 3
= 15
Do f(-2).f(1) = 15.(-2) = -30 < 0
Và f(1).f(2) = -2.15 < 0
⇒ Phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm x₁ và x₂ với mọi m, trong đó x₁ ∈ (-2; 1); x₂ ∈ (1; 2)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx-1\)
Hiển nhiên \(f\left(x\right)\) liên tục và xác định trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx+1\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a>0\) đủ lớn sao cho \(f\left(a\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;a\right)\) hay \(\left(0;+\infty\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx-1\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right),f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
Vậy phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
\(VT=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\)
\(VP=-4x^2+12x-9-1=-\left(2x-3\right)^2-1\le-1\)
\(\Rightarrow VT>VP\) ; \(\forall x\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn luôn vô nghiệm
b.
\(\Leftrightarrow\left(m^2+3m\right)x=-m^2+4m+21\)
\(\Leftrightarrow m\left(m+3\right)x=\left(7-m\right)\left(m+3\right)\)
Để pt có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow m\left(m+3\right)\ne0\Rightarrow m\ne\left\{0;-3\right\}\)
Khi đó ta có: \(x=\dfrac{\left(7-m\right)\left(m+3\right)}{m\left(m+3\right)}=\dfrac{7-m}{m}\)
Để nghiệm pt dương
\(\Leftrightarrow\dfrac{7-m}{m}>0\Leftrightarrow0< m< 7\)