Trên 3 canh AB, BC, AC của \(\Delta\)ABC lấy điểm M, N, P sao cho \(\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=k\). Tìm GTNN của SMNP khi SABC không đổi.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 2 2020
a, Đặt: \(\hept{\begin{cases}S_1=S_{PMA}\\S_2=S_{NMB}\\S_3=S_{PNC}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{S_1}{S}=\frac{AM.AP}{AB.AC}\)
Và: \(\frac{S_2}{S}=\frac{BM.BN}{AB.CB}\)
Và: \(\frac{S_3}{S}=\frac{CP.CN}{AC.BC}\)
Ta có: \(\frac{AM}{MB}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AM+MB}=\frac{k}{k+1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{k}{k+1}\)
\(\frac{CP}{PA}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AP}{CP}=\frac{1}{k}\Leftrightarrow\frac{AP}{AP+CP}=\frac{1}{k+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AP}{AC}=\frac{1}{k+1}\Rightarrow\frac{S_1}{S}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{S_2}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\) và \(\frac{S_3}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow S_{MNP}=S-\left(S_1+S_2+S_3\right)=S-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}.S=S\left(1-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}\right)\)
b, \(S_{MNP}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)lớn nhất.
Ta có: \(\left(k+1\right)^2\ge4k\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow Max\left[\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\right]=\frac{1}{4}\)
Khi \(k=1\Leftrightarrow M,P,N\) là trung điểm của \(AB,BC,CA\) và \(Min_{S_{MNP}}=S\left[1-\frac{3.1}{\left(1+1\right)^2}\right]=\frac{S}{4}\)
(Cũng không chắc)
24 tháng 5 2019
+, Xét ΔABC và ΔMNP có :
AM/MB = BN/NC = CP/PA ( GT )
=> ΔABC ~ ΔMNP ( c - c - c )
=> AM/MB = BN/NC = CP/PA = k
Mà tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng
=> SMNP / SABC = k2
Để SMNP=1/3 SABC ( SMNP/SABC=1/3)thì :
k2 = SMNP / SABC=1/3
=> k = 1 / 9
Vậy để có tỉ số diện tích trên thì k = 1 / 9