cho a,b,c và \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
tính M= \(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 11 2019
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
19 tháng 12 2016
Từ \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a\cdot a+a\cdot a+a\cdot a}{a^2+a^2+a^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
T
29 tháng 12 2016
theo bài ra ta có:
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
=> \(\frac{abc}{c\left(a+b\right)}=\frac{abc}{a\left(b+c\right)}=\frac{abc}{b\left(c+a\right)}\)
=> \(\frac{abc}{ca+cb}=\frac{abc}{ab+ac}=\frac{abc}{bc+ba}\)
vì a,b,c khác 0 => ca+cb = ab+ac = bc+ba
=> a = b = c
ta có:
\(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
vậy M = 1
TT
29 tháng 2 2020
Ta xét hiệu :
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\right)\)
\(=a-b+b-c+c-a=0\)
Do đó : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}=1006\)
Khi đó \(M=2\cdot1006=2012\)
N
9 tháng 12 2018
\(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow ab.\left(b+c\right)=\left(a+b\right).bc\Rightarrow abb+abc=abc+bbc\Rightarrow a=c\\\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow\left(c+a\right).bc=\left(b+c\right).ca\Rightarrow bcc+abc=abc+cca\Rightarrow a=b\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)
\(M=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
p/s: bài này có nhiều cách lắm, cách này ko đc thì thử làm cách khác =))
9 tháng 12 2018
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow ab\left(b+c\right)=\left(a+b\right)bc\)
\(\Rightarrow ab^2+abc=abc+b^2c\Rightarrow ab^2=b^2c\Rightarrow a=c\) (1)
\(\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow bc\left(c+a\right)=\left(b+c\right)ca\)
\(\Rightarrow bc^2+bca=bca+c^2a\Rightarrow bc^2=c^2a\Rightarrow b=a\)(2)
Từ (1) và (2) được a = b = c
Khi đó:
\(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2022
Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}\le\dfrac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\le\dfrac{ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\dfrac{a^2+c^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
\(\Leftrightarrow ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Nhân phá và rút gọn 2 vế:
\(\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3b+b^3c+c^3a}{abc}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge a+b+c\)
Đúng do: \(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Từ M=\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Ta có: \(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
Vậy M= 1
Ta có \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{a+c}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{a+c}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ca}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)
Có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{c}\left(1\right)\) và \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\Leftrightarrow\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\) hay \(a=b=c\)
Vậy \(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)