cho a,b>0 tm: a^3+b^3=a-b . CMR : a^2+b^2<1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
VD
17 tháng 12 2017
cái này chỉ theo ý kiến tớ nhé:
ta có: \(\left(c-a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge2ac+2bc-2ab\)
<=> \(\frac{5}{6}\ge ac+bc-ab\)
<=> \(1>ac+bc-ab\)
abc>0 chia cho hai vế
\(\frac{1}{abc}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
18 tháng 12 2017
Ta có: \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab-bc-ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ca+2bc-2ab\)(1)
Mặt khác \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)(2)
Từ (1)(2) \(\Rightarrow2bc+2ca-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)
Do a,b,c>0 \(\Leftrightarrow\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
\(a-b=a^3+b^3\Rightarrow a-b>0\)
Ta có:\(a^3+b^3>a^3-b^3\)
\(\Rightarrow a-b>a^3-b^3\)
\(\Rightarrow a-b>\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+ab+b^2< 1\Rightarrow a^2+b^2< 1\) vì \(ab>0\)