Question

[Lan Trịnh Thị]

Cho x,y,z là các số thực dương, tìm GTNN của biểu thức

P=\(x^2+y^2+z^2+\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Vấn đề duy nhất của bài này là đánh giá cụm \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\)

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Với hai dãy số dương \(x\ge y\ge z\) và \(a\ge b\ge c\) ta luôn có: \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y+\left(c-a\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\ge y^3\ge z^3\\\frac{1}{y^2+z^2}\ge\frac{1}{z^2+x^2}\ge\frac{1}{x^2+y^2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bổ đề ta có:

\(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^3+x^2}+\frac{x^3}{x^2+y^2}\)

Mặt khác: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{1}{2}y\)

Tương tự và cộng lại: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)

\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\)

\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z-1\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)

\(P_{min}=-\frac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Answer 2

[tthnew]

Dễ dàng chứng minh được \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x+y+z}{2}\)(khi nào rảnh em gõ ha! Giờ lười lắm:v)

Do đó \(P\ge x^2+y^2+z^2+\frac{x+y+z}{2}-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=\frac{t^2-2t}{3}\) (đặt t = x+y+z)

\(=\frac{\left(t^2-2t+1\right)-1}{3}=\frac{\left(t-1\right)^2-1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\t=x+y+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

P/s: Is that true?