cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 4cm. Đường cao AH,kẻ HI vuông góc AB, HK vuông góc AC,
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AIHK
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
$AB.AC=AH.BC=40$
$AB^2+AC^2=BC^2=100$
$\Rightarrow (AB+AC)^2=AB^2+AC^2+2AB.AC=180$
$\Rightarrow AB+AC=6\sqrt{5}$
Theo định lý Viet đảo, $AB,AC$ là nghiệm của pt $X^2-6\sqrt{5}X+40=0$
$\Rightarrow AB=4\sqrt{5}; AC=2\sqrt{5}$ (giả sử $AB>AC$)
Dễ thấy $AIHK$ là hình chữ nhật do có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{I}=\widehat{K}=90^0$
$\Rightarrow IK=AH=4$
Theo định lý Pitago: $AI^2+AK^2=IK^2=16(1)$
Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$AI.AB=AH^2$
$AK.AC=AH^2$
$\Rightarrow AI.AB=AK.AC\Rightarrow \frac{AI}{AK}=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AI=\frac{4\sqrt{5}}{5}; AK=\frac{8\sqrt{5}}{5}$ (cm)
Chu vi AIHK:
$P=2(AI+AK)=2(\frac{4\sqrt{5}}{5}+\frac{8\sqrt{5}}{5})=\frac{24\sqrt{5}}{5}$ (cm)
Diện tích AIHK:
$S=AI.AK=\frac{4\sqrt{5}}{5}.\frac{8\sqrt{5}}{5}=6,4$ (cm vuông)
Ta có tứ giác ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 4 góc vuông)
\(\Rightarrow S_{ADHE}=AD.HD\le\dfrac{1}{2}\left(AD^2+HD^2\right)=\dfrac{1}{2}AH^2\)
Mà theo hệ thức lượng: \(AH^2=BH.CH\)
\(\Rightarrow S_{ADHE}\le\dfrac{1}{2}BH.CH\le\dfrac{1}{8}\left(BH+CH\right)^2=\dfrac{1}{8}BC^2=2\left(cm^2\right)\)
Vậy \(S_{ADHE-max}=2\left(cm^2\right)\) khi tam giác ABC vuông cân tại A
a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:
\(AB^2=AH^2+HB^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=6^2+2^2=40\)
hay \(AB=2\sqrt{10}\left(cm\right)\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được:
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=6^2+6^2=72\)
hay \(AC=6\sqrt{2}\left(cm\right)\)
đặt AB=x
dễ chứng tam giác HBA và tam giác ABC đồng dạng => AB2 =BH.BC <=> x2 = 4BH => BH= \(\frac{x^2}{4}\)
pytago cho tam giác HAB : AB2= BH2+ AH2 => AH2 = x2- \(\frac{x^4}{16}\)=> AH = \(\frac{x}{4}\sqrt{16-x^2}\)
SAIHK = HI.HK \(\le\frac{HI^2+HK^2}{2}=\frac{AH^2}{2}\)= \(\frac{x^2\left(16-x^2\right)}{32}\)
áp dụng ab\(\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)=> \(x^2\left(16-x^2\right)\le\frac{\left(x^2+16-x^2\right)^2}{4}=\frac{16^2}{4}\)
=> SAIHK \(\le\frac{16^2}{4.32}=2\)
Đạt được khi HI=HK và x2=16-x2 => x=AB= 2\(\sqrt{2}\)
HI=HK => ABC vuông cân ở A