Question

[Ánh Dương]

lúc nãy gõ thiếu đề, h gõ lại ạ

1.giải phương trình: \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=2\left(\sqrt{x^2-16}+x-6\right)\)

2. cho \(T=sin^6x+cos^6x+3sin^2x.cos^2x+tan^2x.cos^2x+cotan^2x.sin^2x\left(0< x< 90^0\right)\). CMR giá trị của T không phụ thuộc vào biến x

3. cho a, b là các số dương thỏa mãn a+b=1. Cmr: \(B=a^3+b^3+8\left(a^4+b^4\right)+\frac{2}{ab}\ge\frac{37}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi nào?

4. giải bằng hai cách: tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: \(x^2-2y^2=1\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Bài 1 làm rồi, và bài 4 chỉ làm được khi đề yêu cầu tìm số nguyên tố, còn số nguyên thì pt có vô số nghiệm

2/ \(T=\left(sin^2x\right)^3+\left(cos^2x\right)^3+3sin^2x.cos^2x+\frac{sin^2x}{cos^2x}.cos^2x+\frac{cos^2x}{sin^2x}.sin^2x\)

\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)-3sin^2x.cos^2x+sin^2x+cos^2x\)

\(=1^3-3sin^2x.cos^2x.1+3sin^2x.cos^2x+1\)

\(=2\)

3/ Trước hết ta có BĐT sau với số dương:

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(x^3-x^2y-\left(xy^2-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)

Kết hợp với BĐT \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow B\ge ab\left(a+b\right)+4\left(a^2+b^2\right)^2+\frac{2}{ab}\)

\(B\ge ab+\frac{1}{16ab}+4\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2+\frac{31}{16ab}\)

\(B\ge2\sqrt{\frac{ab}{16ab}}+4\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{31}{4\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}+1+\frac{31}{4}=\frac{37}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Làm 1 cách thôi, 2 cách làm biếng lắm :(