tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x,y,z) thoản mãn đồng thời \(\frac{x+y+\sqrt{2015}}{y+z+\sqrt{2015}}\)là số hữu tỉ và \(x^2+z^2=7y^2-99\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 9 2018
Xửa đề:
\(\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}=\frac{m}{n}\) (vơi m, n thuộc Z)
\(\Leftrightarrow xn-ym=\left(yn-zm\right)\sqrt{2015}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xn-ym=0\\yn-zm=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow xz=y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z+y\right)\left(x+z-y\right)\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=1\left(l\right)\\x+z-y=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x+z=y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xz+z^2=y^2+2y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2\)
\(\Rightarrow x=y=z=1\)
18 tháng 6 2019
Vì là số hữu tỉ nên \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{a}{b}\left(a;b\inℕ^∗\right)\)
\(\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2013}=ay+az\sqrt{2013}\)
\(\Leftrightarrow az\sqrt{2013}-by\sqrt{2013}=bx-ay\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2013}\left(az-by\right)=bx-ay\)
Vì VP là số hữu tỉ nên VT là số hữu tỉ
Mà \(\sqrt{2013}\)là số vô tỉ
Nên \(bx-ay=az-by=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bx=ay\\az=by\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\\frac{y}{z}=\frac{a}{b}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow xz=y^2\)
Ta có \(x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Mà \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}}\)(Do \(x-y+z< x+y+z\))
Vì x ; y ; z nguyên dương nên \(x;y;z\ge1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x\\y^2\ge y\\z^2\ge z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1 (thỏa mãn)
DT
18 tháng 6 2019
Theo đề ra ta có: \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{m}{n}\left(m,n\in Z;\left(m,n\right)=1\right).\)
\(\Rightarrow nx+ny\sqrt{2013}=my+mz\sqrt{2013}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2013}\left(mz-ny\right).\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\mz-ny=0\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2\)(vì x,y,n,m đều là các số nguyên )
Khi đó: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)
\(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Dễ thấy \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)
Thử lại ta thấy x=y=z=1 thỏa mãn .
KN
17 tháng 8 2021
Ta có : \(\frac{x+y\sqrt{2021}}{y+z\sqrt{2021}}=\frac{a}{b}\left(a,b\inℕ^∗;\left(a,b\right)=1\right)\)
<=>\(bx-ay=\left(az-by\right)\sqrt{2021}\)
<=>\(\hept{\begin{cases}nx-ay=0\\az-by=0\end{cases}}\)<=>\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{a}{b}\)=> xz = y2
Lại có : x2 + y2 + z2 = ( x + z )2 - 2xz + y2 = ( x + z )2 - y2 = ( x + z - y ) ( x + z + y )
Vì x + y + z > 1 và x2 + y2 + z2 là số ntố => \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}}\)<=> x = y = z = 1 ( tm )