Question

[Trần Thị Hảo]

Bài 1: Cho phương trình: x² - 3x + 2 =0 có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y có 2 nghiệm y₁ = x₂ + \(\frac{1}{x_1}\) và y₂ = x₁ + \(\frac{1}{x_2}\)

Bài 2: Cho phương trình: (m - 1)x² - 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x₁; x_2. Lập hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Bài 3: Cho phương trình: x² + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ sao cho chũng không phụ thuộc vào m

Bài 4: Cho phương trình (m + 2)x² + (1 - 2m)x + m - 3 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = \(-\frac{9}{2}\)

b) CMR: Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia.

Bài 5: Cho phương trình x² - 2mx + m² - 4m - 3 (m là tham số). Tìm m để phương trình có nghiệm x₁; x₂ sao cho biểu thức T = x₁² + x₂² - x_1.x₂ đạt GTNN.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)

Giả sử \(y_1;y_2\) là nghiệm của pt bậc 2 có dạng \(y^2+ay+b=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=-a\\y_1y_2=b\end{matrix}\right.\)

Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_2}\\y_1y_2=\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_1+x_2+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\y_1y_2=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\\y_1y_2=2+\frac{1}{2}+2=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{9}{2}=-a\\\frac{9}{2}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{9}{2}\\b=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

Hay \(y\) là nghiệm của \(y^2-\frac{9y}{2}+\frac{9}{2}=0\Leftrightarrow2y^2-9y+9=0\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 2:

Để pt đã cho có 2 nghiệm:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m-4\right)\left(m-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\5m-4\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ge\frac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{2m}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m-4}{m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{3\left(x_1+x_2\right)}{2}=\frac{3m}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m-4}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế:

\(\frac{3\left(x_1+x_2\right)}{2}+x_1x_2=\frac{4m-4}{m-1}=4\)

\(\Leftrightarrow3\left(x_1+x_2\right)+2x_1x_2-8=0\)

Đây là biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm ko phụ thuộc m