Tìm số tự nhiên n để 2n+1 và 3n+4 là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CN
1
27 tháng 5 2022
Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:
\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)
Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)
\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)
Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\) => (a - 1).(a - 9) = 0
=> a = 9. Từ đó ta có n = 40
Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40
HT
3
7 tháng 12 2015
Đặt 2n +1 =a2
3n +4 =b2
2b2 -3a2 =6n +8 -6n -3 =5
2(b2 -a2) = a2 +5 => a2 là số chính phưng lẻ < 200 ( 2n +1 < 200)
+a2 =25 => a =5 => n =12 khi đó 3.12 +4 =40 =b2 loại
+a2 = 49 => n =24 => 24.3 +4 =76 =b2 loại
+a2 =81 => n =40 => 40.3 +4 =124 =b2 loại
+a2 =121 => n =60 => 60.3 +4 =184 = b2 loại
+a2 =169 => n =84 => 84.3 +4 =256 =162 =b2 => b =16 (TM)
Vậy n =84
KN
1
OP
2
DD
0