Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ở O và ko vuông góc với nhau. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác BOC và AOD.
a) Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F LÀ giao điểm của AH và DK. Chứng minh rằng các tam giác IFG và HFK đồng dạng.
b) Chứng minh rằng IG vuông góc với HK.
a) Bạn xem lại đề nhé ! Mình vẽ hình và thấy không đúng.
b) Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các đoạn AD,BC,BD. Lúc này ta có:
MP là đường trung bình của \(\Delta\)BAD, PN là đường trung bình của \(\Delta\)CBD
Suy ra \(\frac{PM}{PN}=\frac{2AB}{2CD}=\frac{AB}{CD}\)(1) . Gọi S,T lần lượt là giao điểm của AH,CK với BD
Ta thấy \(\Delta\)OSH ~ \(\Delta\)ASB (g.g) => \(\frac{OH}{AB}=\frac{OS}{AS}\). Tương tự \(\frac{OK}{CD}=\frac{TO}{TC}\)
Mà \(\frac{OS}{AS}=\frac{TO}{TC}\)(Hệ quả ĐL Thales) nên \(\frac{OH}{OK}=\frac{AB}{CD}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{OH}{OK}=\frac{PM}{PN}\) hay \(\frac{OH}{PM}=\frac{OK}{PN}\)
Mặt khác ^MPN = ^MPB + ^BPN = ^BDC + ^BDA + ^BAD = ^BAD + ^ADC = ^HOK
Từ đó \(\Delta\)HOK ~ \(\Delta\)MPN (c.g.c) => ^OKH = ^PNM. Lại có KO vuông góc PN và CD
=> ^PNM và ^OKH phụ với góc hợp bởi OK và MN. Do vậy MN vuông góc với HK
Dễ thấy O,I,M và O,G,N thẳng hàng. Đồng thời \(\frac{OI}{IM}=\frac{OG}{GN}=2\)=> IG // MN (ĐL Thales đảo)
Như vậy IG vuông góc HK (đpcm).