Cho x>0,y>0 và x+y<=1
tìm Min K =\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
1
29 tháng 5 2015
M = (1 + \(\frac{1}{x}\))(1 + \(\frac{1}{y}\)) . (1 - \(\frac{1}{x}\))(1 - \(\frac{1}{y}\))
= (1 + \(\frac{1}{x}\))(1 +\(\frac{1}{y}\) ) . \(\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{x.y}\)
= (1 + \(\frac{1}{x}\))(1 + \(\frac{1}{y}\)) . \(\frac{\left(-x\right)\left(-y\right)}{x.y}\)
= (1 + \(\frac{1}{x}\))(1 + \(\frac{1}{y}\))
= 1 + \(\frac{1}{x.y}\) + (\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)) = 1 + \(\frac{1}{x.y}\) + \(\frac{x+y}{x.y}\)
= 1 + \(\frac{1}{x.y}\) + \(\frac{1}{x.y}\) = 1 + \(\frac{2}{x.y}\)
Áp dụng bđt: xy \(\le\) \(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
=> M ≥ 1 + \(2:\frac{1}{4}\)= 9
Min M = 9 <=> x = y = 1/2
30 tháng 12 2017
một khu đất hình chữ nhật có chu vi bằng 65 chiều rộng bằng 1/4 chiều dai, nguoi ta đao ao hết 62,5%diện tích khu đấtdiện tích còn lại để trồng hoa.Tính dienj tích tròng hoa?
30 tháng 12 2017
\(A=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)
\(=1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=1-\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y}\)
\(=1-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=1-\frac{1}{x^2y^2}+\frac{2xy}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=1+\frac{2}{xy}\)
Lại có: \(4xy\le\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{xy}\ge8\)
\(\Rightarrow A\ge9\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy.......
VD
4
KK
1
13 tháng 7 2018
Sử dụng BĐT Am-Gm ta có:
\(A=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(x+y\right)^2\ge4xy+\frac{4}{\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow A\ge4xy+\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge3\sqrt[3]{4xy.\frac{2}{\sqrt{xy}}.\frac{2}{\sqrt{xy}}}=6\sqrt[3]{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\4xy=\frac{2}{\sqrt{xy}}\end{cases}}\Rightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
A
12 tháng 3 2017
ta có ; A=((x+2012)/x)^2 + ((y+2012)/y)^2
hay A =((x+x+y)/x)^2+((y+x+y)/x)^2
=((2x+y)/x)^2 + ((2x+y)/x)^2
=(2+y/x)^2 + (2+x/y)^2
đặt x/y=k ta có ;
A=(2+k)^2 + (2+1/k)^2
=4+4k+k^2+4+4/k+1/k^2
\(\ge\)\(2\sqrt{4k.\frac{1}{4k}}\)+\(2\sqrt{k^2.\frac{1}{k^2}}\)\(+8\)(\(BAT\)\(DANG\)\(THUC\)\(COSI\))
\(=\)\(2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+8=2+8+8=18\)
\(_{ }\)vậy max A = 18
PT
1
30 tháng 7 2019
Áp dụng 2 bđt sau \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\end{cases}}\)(tự chứng minh nhé)
\(A=\left(\frac{1}{x}+x\right)^2+\left(\frac{1}{y}+y\right)^2\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+x+y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{4}{x+y}+1\right)^2}{2}=\frac{\left(4+1\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" tại x = y = 1/2
\(K=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow M\ge8\)
\(K\ge\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2=\frac{1}{2}\left(4x+\frac{1}{x}+4y+\frac{1}{y}-3\left(x+y\right)\right)^2\)
\(K\ge\frac{1}{2}\left(2\sqrt{\frac{4x}{x}}+2\sqrt{\frac{4y}{y}}-3.1\right)^2=\frac{25}{2}\)
\(\Rightarrow K_{min}=\frac{25}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)