a,b,c dương chứng minh : \(\left(a+b\right)^2+\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 11 2016
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Từ đó ta có
\(\left(a+b\right)^2+\frac{a+b}{2}\ge4ab+\frac{a+b}{2}\)
Ta cần chứng minh
\(4ab+\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow8ab+a+b-4a\sqrt{b}-4b\sqrt{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4ab-4a\sqrt{b}+a\right)+\left(4ab-4b\sqrt{a}+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{ab}-\sqrt{a}\right)^2+\left(2\sqrt{ab}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow\)ĐPCM là đúng
17 tháng 10 2019
Ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge3+2a.\frac{1}{\sqrt{bc}}+2b.\frac{1}{\sqrt{ac}}+2c.\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
Mà \(abc\le1\)
=> \(VT\ge3+2a\sqrt{a}+2b\sqrt{b}+2c\sqrt{c}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
HM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 5 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\((a+b)^2+\frac{a+b}{2}=(a+b)[(a+b)+\frac{1}{2}]\)
\(=(a+b)[(a+\frac{1}{4})+(b+\frac{1}{4})]\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{4}$
VT
21 tháng 10 2019
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
CM
23 tháng 11 2020
1)
Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+b+4c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\frac{3\left(a+b\right)+\left(a+b+4c\right)}{2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
CM
24 tháng 11 2020
2)
\(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left(ab+1\right)^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\frac{2a+\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)}{3}}=3\Sigma_{cyc}\frac{a}{ab+a+1}\)
Ta có bổ đề: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\left(abc=1\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}\ge3\)
CM
2 tháng 12 2020
Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)
\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
DN
20 tháng 5 2018
Nhon ~~ Xin Chào Bạn Nha >< Hiện Giờ Bên Tụi Mk đang có 1 cuộc thi đó là cuộc thi ảnh đẹp nhoa >< Nếu Bạn mún tham gia Hãy Chọn 1 Tấm hik Đẹp Nhất của mk Và Đưa Link ảnh đó cho mk . sau ngày hum nay 20/5 -> đến Ngày 22 / 5 Mk sẽ ra Kết qả và gửi cho Bạn /
giải nhất sẽ đc 3 mỗi ngày , thời hạn sẽ kết thúc sau khi hết 1 tuần
giải nhì sẽ được 2 mỗi ngày . kết thúc sau 4 ngày
giải 3 sẽ đc mk kb + 1
.>< Thanh Kìu nhìu nhoa ><