Question

[Hatake Kakashi]

Tìm x, y \(\in\)Z TM: y(x-1) = x² + 2

Answer 1

[tth_new]

đỗ thị cẩm ly dạng này thì lớp 9 mới chính thức học,nhưng lớp 7 có thể đưa về những dạng quen thuộc để giải ạ.Vd: tìm x để biểu thức y nguyên

                                                  Lời giải

Theo đề bài,với x = 1 suy ra \(0y=3\) (vô lí)

Xét \(x\ne1\),chia hai vế của đẳng thức cho x - 1,được:

\(y=\frac{x^2+2}{x-1}=\frac{x^2-1^2}{x-1}+\frac{3}{x-1}\)

\(=\left(x+1\right)+\frac{3}{x-1}\)(dùng đẳng thức:\(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\) ,tự chứng minh,sẽ ra được kết quả này)

Do x + 1 nguyên (với mọi x thuộc Z),nên để y thuộc Z(tức là y nguyên ấy)

Thì \(\frac{3}{x-1}\inℤ\Rightarrow x-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Suy ra \(x\in\left\{-2;0;2;4\right\}\).Thay từng giá trị của x vào \(y=\frac{x^2+2}{x-1}\) sẽ tìm được y (lưu ý đk y nguyên)

Answer 2

[tth_new]

Đầu tiên,xét bài toán phụ: CMR: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
Thật vậy,ta có: \(a^2-b^2=\left(a^2+ab\right)-\left(ab+b^2\right)\)

\(=a\left(a+b\right)-b\left(a+b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

Trở lại bài toán,ta có \(y\left(x-1\right)-x^2=2\) (chuyển vế)

Thêm 1² vào mỗi vế và áp dụng quy tắc dấu ngoặc:

\(y\left(x-1\right)-\left(x^2-1^2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-x-1\right)=3\) 

Dễ dàng nhận xét rằng \(x-1;y-x-1\inƯ\left(3\right)\)

Xét bốn trường hợp:

TH1: \(\hept{\begin{cases}x-1=-3\\y-x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-2\end{cases}}\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x-1=-1\\y-x-1=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}}\)

TH3: \(\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-x-1=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

TH4; \(\hept{\begin{cases}x-1=3\\y-x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(-2;-2\right),\left(0;-2\right),\left(2;6\right),\left(4;6\right)\right\}\)