Question

[Trần Phúc]

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm trên nửa đường tròn. Xác định vị trí M sao cho chu vi tam giác MAB lớn nhất

Answer 1

[Bùi Vương TP (Hacker Ninh Bình)]

b)Lấy C thuộc tia đối MA sao cho MC = MB => chi vi ABC = MA + MB + AB = MA + MC + 2R = AC + 2R. 
=> Chu vi tam giác ABC lớn nhất <=> AC lớn nhất. 
Xét tam giác MBC có góc BMC = 90độ và MC = MB(cách kẻ) 
=> tam giác MBC vuông cân tại M => góc MCB = 45 độ 
=> C thuộc cung chưa góc 45 độ dựng trên AB (1) 
Lấy M' là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB (M' cùng phía với M). 
Lấy D thuộc tia đối M'A sao cho M'D = M'A = M'B => AD = 2R 
=> Ta cũng chứng minh được: D thuộc cung chứa góc 45độ dựng trên AB (2) 
Từ (1) và (2) => C;D;A và B cùng thuộc 1 đường tròn. 
Ta sẽ chứng minh được góc ABD = 90độ 
=> AD là đường kính => AC ≤ AD (trong đường tròn đường kính là dây lớn nhất). 
=> AC + 2R ≤ AD + 2R 
=> AC + 2R ≤ 2R + 2R 
=> AC + 2R ≤ 4R 
=> Chu vi ABC ≤ 4R 
Đạt được giá trị này <=> AC ≡ AD => M ≡ M' 
=> M là điểm chính giữa nữa đường tròn đường kính AB