Question

[Khôi Bùi]

Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2+2abc=1\)

Tìm giá trị lớn nhất : M = a + b + c

@Akai Haruma

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Từ điều kiện đã cho của $a,b,c$, tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:

\((a,b,c)=\left(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}; \frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}; \frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\right)\)

Khi đó, áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(M=a+b+c=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)

\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

hay \(M\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Cách khác:
Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+2abc=1\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+2abc=1\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2(a+b+c)+1=2+2(ab+bc+ac)-2(a+b+c)-2abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2(a+b+c)+1=2[1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)-abc]\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2(a+b+c)+1=2(1-a)(1-b)(1-c)\) (đây là đẳng thức khá quen thuộc)

Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu:

\((a+b+c)^2-2(a+b+c)+1=2(1-a)(1-b)(1-c)\leq 2\left(\frac{1-a+1-b+1-c}{3}\right)^3=\frac{2[3-(a+b+c)]^3}{27}\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t+1\leq \frac{2(3-t)^3}{27}\) (đặt \(a+b+c=t\))

\(\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (2t-3)(t+3)^2\leq 0\Rightarrow 2t-3\leq 0\Rightarrow t=M=a+b+c\leq \frac{3}{2}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)