Question

[Incognito]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), điểm P di chuyển trên cung BC không chứa A. AP và BC cắt nhau ở S; BP,CP cắt AC,AB lần lượt tại E,F. Các đường tròn (ABE) và (ACF) cắt nhau tại K khác A.

a) Chứng minh: Đường thẳng SK luôn đi qua điểm cố định khi P thay đổi ?

b) Lấy điểm Q trên cung BC không chứa A sao cho ^BAQ = ^CAP. Tia AK cắt (O) tại  D khác A. Đường thẳng DQ và BC gặp nhau tại M. Chứng minh: OM vuông góc với AQ ?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta sẽ chứng minh SK đi qua điểm O cố định. Thật vậy, gọi OK cắt AP tại S', ta cần chứng minh S' trùng với S.

Ta có: ^CKF + ^BAC = ^CKF + ^CPE = ^CKF + ^CKE = 180⁰ => 3 điểm E,K,F thẳng hàng

Thấy ^FPE + ^PEF + ^PFE = ^BPC + ^PBK + ^CPK = ^OBP + ^OCP + ^PBK + ^CPK = ^OBK + ^OCK = 180⁰ 

=> Tứ giác BOCK nội tiếp. Mà OB = OC => ^BKO = ^CKO. Lại có: ^DKB = ^AEB = ^PKC

Suy ra: ^BKO - ^DKB = ^CKO - ^PKC => ^AKO = ^OKP

Mặt khác: ^AOK = ^AOB + ^BOK = 2.^ACB + ^BCK = ^ACK + ^ACB = ^BPK + ^APB = ^APK

=> Tứ giác AOPK nội tiếp => ^OAP = ^OKP => ^OAS' = ^OKA (Vì ^AKO = ^OKP)

=> \(\Delta\)OAS' ~ \(\Delta\)OKA (g.g) => OA² = OS'.OK => OB² = OS'.OK => \(\Delta\)OS'B ~ \(\Delta\)OBK (c.g.c)

=> ^OS'B = ^OBK. Tương tự: ^OS'C = ^OCK. Do đó: ^OS'B + ^OS'C = ^OBK + ^OCK = 180⁰ (Vì tứ giác BOCK nội tiếp)

=> 3 điểm B,S',C thẳng hàng => BC cắt AP tại S'. Vậy nên S trùng S' => 3 điểm O,S,K thẳng hàng => ĐPCM.

b) Từ câu a ta có: OD² = OS.OK => \(\Delta\)ODS ~ \(\Delta\)OKD (c.g.c) => ^ODS = ^OKD = ^OKA = ^OAS

=> Tứ giác AOSD nội tiếp hay 4 điểm A,O,P,S cùng thuộc 1 đường tròn (1)

Ta lại có: ^CAP + ^PAD = ^CAD = ^CBD = ^BMD + ^BDM = ^SMD + ^BDQ = ^SMD + ^BAQ

Mà ^CAP = ^BAQ (gt) nên ^PAD = ^SMD hay ^SMD = ^SAD => 4 điểm A,S,D,M cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ (1);(2) => 5 điểm A,O,S,P,M cùng thuộc 1 đường tròn. Do OA = OD nên ^AMO = ^DMO hay ^AMO = ^QMO

Xét \(\Delta\)AOQ cân tại O, một điểm M sao cho ^AMO = ^QMO (cmt). Dễ c/m AM = QM (Gợi ý: Lấy đối xứng của M qua OA)

Từ đó: OM là trung trực của AQ => OM vuông góc AQ (đpcm).