Question

[Bi Bi]

Cho a,b,c là số đo ba cạnh tam giác . Chứng minh rằng

1<\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)

Answer 1

[Khôi Bùi]

Ta có : Do a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác nên :

\(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{b+c}< \dfrac{2a}{a+b+c}\)

\(\dfrac{b}{a+b+c}< \dfrac{b}{c+a}< \dfrac{2b}{a+b+c}\)

\(\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2c}{a+b+c}\)

Cộng 3 vế với nhau , ta có :

\(1< \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Ánh Lê]

Ta có :

\(\dfrac{â}{b+c}>\dfrac{a}{a+b+c}\);

\(\dfrac{b}{c+a}>\dfrac{b}{a+b+c}\);

\(\dfrac{c}{a+b}>\dfrac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}>\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (*)

Ta có bất đằng thức tam giác : a+b > c ; b+c > a ; a+c > b

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}< 1;\dfrac{b}{a+c}< 1;\dfrac{c}{a+b}< 1\)

Vì \(\dfrac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự :

\(\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{2b}{a+b+c};\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (**)

Kết hợp (*) với (**)

=> ĐPCM